§ 13. Электроемкость

Электроемкостью какого-нибудь проводника называют численную величину заряда, который сообщает этому проводнику потенциал, равный единице (при условии, что рассматриваемый проводник весьма удален от других проводников или же что другие провод ники, находящиеся в поле, заземлены, т. е. что их потенциал равен нулю).

Когда мы заряжаем электричеством проводник, изолированный от влияния посторонних зарядов, электричество, сообщенное

проводнику, распределяется некоторым вполне определенным образом по его поверхности. Потенциал в любой точке проводника представляет собой алгебраическую сумму потенциалов всех отдельных зарядов, сообщенных проводнику. Пусть о есть поверхностная плотность электризации проводника (т. е. количество электричества, приходящееся на единицу площади). На какой-либо площадке поверхности находится количество электричества, равное потенциал, вызываемый этим количеством электричества в некоторой точке проводника, удаленной на расстояние от площадки равен

Рис. 33.

Чтобы получить полное значение потенциала в точке надо [согласно формуле (16) в § 8] просуммировать потенциалы, вызываемые зарядами, расположенными на различных площадках удаленных от точки соответственно на расстояния (рис. 33):

Так как при равновесии потенциал во всех точках проводника одинаков, то, следовательно, распределение плотности электричества на проводнике должно быть таково, чтобы написанная сумма для всех внутренних точек тела проводника имела одно и то же значение.

Рис. 34. Электроемкость проводника увеличивается, когда к нему приближают другой, заземленный проводник.

Представим себе, что заряд каждой элементарной площадки поверхности мы увеличиваем в раз, тогда и общий заряд проводника возрастет в раз, в раз возрастет значение каждого члена суммы в формуле (6) и, следовательно, в раз возрастет значение потенциала проводника. Мы видим, таким образом, что заряд и потенциал проводника являются величинами, пропорциональными друг другу. Можно написать, следовательно, что

где коэффициент пропорциональности С есть не что иное, как электроемкость проводника (численная величина заряда,

при котором проводник приобретает потенциал, равный единице; когда

Допустим, что данный проводник был заряжен положительно, и допустим, что мы приближаем к этому проводнику второй, заземленный проводник (рис. 34); на последнем через влияние появятся отрицательные заряды (положительные возникшие по влиянию заряды уйдут в землю). Положительный потенциал первого проводника будет ослаблен действием отрицательных зарядов второго, и если потенциал первого проводника был равен раньше, скажем, единице, то теперь он сделался меньше единицы; это означает, что электроемкость первого проводника благодаря приближению второго заземленного проводника увеличилась, так как, для того чтобы потенциал первого проводника снова сделался равен единице, надо увеличить положительный заряд этого проводника.

По указанной причине металлическая пластинка, отделенная тонким слоем изолятора от второй заземленной металлической пластинки, обладает большой электроемкостью; эти две пластинки образуют электрический конденсатор; емкость конденсатора тем больше чем ближе расположены его обкладки друг к другу и чем больше площадь обкладок.

Применим формулу (1) к простейшему случаю — к вычислению потенциала заряженного шарообразного проводника, удаленного от всех остальных проводников.

Так как потенциал во всех точках внутри проводника одинаков, то, желая отыскать значение потенциала проводника, мы можем выбрать любую точку внутри него и к этой точке применить формулу (1). Естественно, что в качестве такой точки мы выберем центр шара, по отношению к которому все элементарные участки поверхности расположены симметрично, так что

где - радиус шара. Вынося в сумме, которая стоитв правой части формулы (1), величину за скобки, получаем в скобках значение общего заряда проводника и таким образом находим, что

Сопоставляя это выражение с формулой (2), мы видим, что выраженная в абсолютных электростатических единицах электроемкость шарообразного проводника измеряется радиусом шара, выраженным в сантиметрах:

Если проводящий заряженный шар находится в среде с диэлектрической постоянной то, принимая во внимание, что внешнее поле шара таково же, как и поле точечного заряда, расположенного

в центре шара, мы находим по формуле (15) § 8, что потенциал на поверхности шара будет равен и, стало быть, электроемкость шара, находящегося в среде с диэлектрической постоянной равна

Абсолютной единицей емкости является емкость проводника, который от заряда в одну абсолютную единицу количества электричества получает потенциал в одну абсолютную единицу потенциала (300 в). Такой емкостью обладает в вакууме шар радиусом 1 см.

Кроме абсолютной единицы емкости 1 см, в практической системе электрических мер пользуются емкостью в 1 фараду (сокращенно обозначаемую буквой или Фарадой называется электроемкость проводника, который от заряда в 1 кулон получает потенциал в 1 в.

Один кулон электростатических единиц электричества и

поэтому из соотношения следует, что

Миллионная доля фарады называется микрофарадой и обычно обозначается или

Небольшие емкости выражают или в абсолютных единицах, т. е. в сантиметрах, или жевмикромикрофарадах. Эта единица емкости составляет фарад, т. е. одну миллионную долю микрофарады; ее обозначают Часто эту единицу емкости называют также «пикофарадой» Очевидно, что

Луна находится от Земли на расстоянии см; емкость в одну фараду соответствует шару с радиусом, в 23 раза большим, чем расстояние от Земли до Луны. Емкость земного шара приблизительно равна