§ 72. Закон Фарадея. Индукционное измерение магнитного потока и магнитодвижущей силы. Вихревые токи

Величина индуцированной электродвижущей силы определяется законом, который был найден Фарадеем. Позже (в 1847 г.) Гельмгольц показал, что электродинамический закон Фарадея является следствием закона сохранения энергии.

Для пояснения указанного Гельмгольцем вывода электродинамического закона (закона электромагнитной индукции) представим себе, что сквозь плоскость чертежа перпендикулярно к нему проходит однородное магнитное поле, имеющее напряженность Рассматривая чертеж, мы смотрим по направлению линий сил. В плоскости чертежа расположен проводящий контур, состоящий из дуги В и подвижного проводника (рис. 305); параллельные ножки дуги В находятся на расстоянии сантиметров одна от другой. Будем передвигать проводник из положения в положение причем он все время будет касаться дуги В.

Рис. 305. К вычислению электродвижущей силы индукции.

Пусть величина перемещения равна сантиметрам. Если движение проводника происходит слева направо, то в проводнике возникнет индуцированный ток, идущий снизу вверх (при таком направлении тока его поле несколько компенсирует происходящее вследствие движения проводника уменьшение потока магнитной индукции, пронизывающего площадь, ограниченную дугой В и проводником Этот ток мы можем использовать для производства какой-нибудь работы.

На основании закона сохранения энергии мы можем утверждать, что работа, которая может быть выполнена индуцированным током, равна работе, затрачиваемой на преодоление сил магнитного поля, сопротивляющихся перемещению проводника. Если возникшая в проводнике вследствие движения его за промежуток времени электродвижущая сила равна вольт и ток — ампер, то производимая током работа равна джоулей.

При движении проводника по пути будет израсходована работа где сила, с которой действует на проводник магнитное поле.

Согласно § 65 эта сила дин; она направлена в сторону, противоположную движению проводника, следовательно, нужная для движения проводника механическая работа эргов.

Сравнивая два полученных для работы выражения, находим:

Сокращаем обе части уравнения на В правой части уравнения мы имеем произведение которое представляет собой, как нетрудно сообразить, не что иное, как число линий магнитной индукции, пересекаемых движущимся проводником. Если через мы обозначим поток индукции через площадь, ограниченную дугой В и проводником в момент, и через поток индукции через площадь, ограниченную дугой В и проводником в момент то

Следовательно,

Мы видим, таким образом, что возникающая в замкнутом проводнике электродвижущая сила индукции, выраженная в вольтах, равна одной стомиллионной части того числа линий магнитной индукции, на которое уменьшается или увеличивается в одну секунду поток магнитной индукции через площадь, ограниченную этим проводником.

Этот закон, устанавливающий, что величина электродвижущей силы индукции определяется быстротой изменения числа линий магнитной индукции, пронизывающих площадь, ограниченную контуром, носит название закона Фарадея.

Для случая, когда изменение потока магнитной индукции происходит неравномерно, вместо отношения 2 1 надо взять производную

Знак минус в этой формуле указывает, что электродвижущая сила индукции при возрастании магнитного потока направлена, если смотреть по направлению линий магнитных сил, против часовой стрелки (положительным считают направление вращения по часовой стрелке).

Если сопротивление всей цепи есть омов, то по закону Ома индуцированный ток будет:

Приведенное выше обоснование закона индукции нетрудно связать с теми соображениями, которые были приведены нами в § 66 при анализе работы, производимой токонесущим проводником, когда этот проводник перемещается в магнитном поле.

Работа, производимая током за элемент времени секунд, равна джоулей, где напряжение в вольтах, приложенное к проводнику, а величина тока в амперах. При перемещении проводника в магнитном поле эта работа частично превращается в тепло джоулей сопротивление проводника в омах) и частично идет на преодоление сил, с которыми магнитное поле действует на проводник; эта вторая часть указанной работы равна джоулей.

Таким образом,

Отсюда после сокращения на получаем:

Сопоставляя это выражение с законом Ома, мы видим, что напряжение на концах проводника, перемещающегося в магнитном поле, убывает на величину индуцированной в нем электродвижущей силы, для которой из формулы (3) получается формула (1). Таково, в частности, происхождение обратной электродвижущей силы в роторах электромоторов (§ 66).

Весьма знаменательно, что электродвижущая сила, индуцируемая по закону Фарадея (1), вследствие изменения магнитного потока совершенно не зависит от каких бы то ни было физических свойств проводящей цепи, которая охватывает изменяющийся магнитный поток; в частности, она не зависит и от электропроводности цепи. В контурах, охватывающих некоторый изменяющийся магнитный поток и имеющих различную проводимость (в том числе хотя бы и совершенно неэлектропроводных), индуцируется одинаковая электродвижущая сила. В указанном отношении закон Фарадея сходен с основным следствием из закона Био и Савара (§ 62), согласно которому магнитодвижущая сила, создаваемая электрическим током, не зависит ни от физических свойств среды, ни от свойств проводящей цепи и определяется только величиной тока (она одинакова для тока в металле, в электролите, в газе, в вакууме). Отмеченные черты законов Фарадея и Био и Савара имели решающее значение для обобщения этих законов в форме уравнений, предложенных Максвеллом (§ 76).

Из закона индукции (1) следует, что когда магнитный поток возрастает от то, с какой бы скоростью ни происходило изменение магнитного потока, интеграл по времени от индуцированной в контуре электродвижущей силы будет одинаков и может служить мерой магнитного потока, пронизывающего контур:

Если на оси абсцисс отложено время в секундах, а на оси ординат — индуцированная электродвижущая сила в вольтах, то площадь, ограниченная кривой (рис. 306), будучи умножена на 108, дает величину полного изменения магнитного потока в абсолютных единицах (в максвеллах).

Таким образом, закон индукции позволяет измерять магнитный поток тем числом вольт-секунд, которое этот поток индуцирует при своем возникновении или исчезновении.

Очевидно, что

1 вольт-секунда = максвелл.

Эту практическую единицу магнитного потока (вольт-секунду) называют также вебер.

Мы видим, таким образом, что если магнитный поток измерять не в абсолютных единицах (максвеллах), а в практических единицах, т. е. в вольт-секундах, то числовой коэффициент во всех приведенных выше формулах (3) и (4)] исчезает.

Рис. 306. Суммарный импульс индуцированного напряжения не зависит от быстроты изменения магнитного потока и всегда пропорционален полному изменению потока.

Для измерения суммарного импульса индуцированного напряжения пользуются баллистическим гальванометром (§ 68), который, однако, вместо обычной градуировки в единицах количества электричества (в долях кулона, или, что то же, в долях ампер-секунды) градуируют, умножая ампер-секунды на внутреннее сопротивление гальванометра, в вольт-секундах. Понятно, что такой вольтметр, баллистические отклонения которого показывают суммарный импульс индуцированного напряжения можно проградуировать и в максвеллах.

Если в цепь гальванометра включена пробная катушка и полное сопротивление цепи, выраженное, в омах, равно то индуцируемый в катушке ток и, стало быть, согласно формуле (4),

где количество электричества в кулонах, проходящее через измерительную цепь при возникновении потока, пронизывающего контур этой цепи.

В случае возникновения однородного магнитного поля, направленного перпендикулярно к площадке охватываемой проводником, в уравнении (4) магнитный поток равен число индуцированных в проводнике вольт-секунд (при неизменности пропорционально величине Этим и объясняется, почему величину

называют магнитной индукцией.

Явление электромагнитной индукции может быть использовано для измерения не только магнитного потока магнитной индукции В и напряженности магнитного поля но также и для измерения магнитного напряжения и магнитодвижущей силы Измерение магнитного напряжения (величины, аналогичной электрическому напряжению осуществляют посредством гибкой длинной индукционной катушки, концы которой подключают к баллистическому гальванометру. В качестве каркаса для намотки часто применяют ремень. На рис. 307 показана схема такого прибора — так называемого пояса Роговского. Чтобы не загромождать рисунок, на нем показан только один слой обмотки; обычно делают обмотку в несколько слоев с совершенно одинаковым числом витков на каждую единицу длины катушки и с отводами (начала и конца обмотки) у середины катушки. Пусть есть общее число витков, полная длина катушки и площадь ее поперечного сечения. При возникновении или исчезновении магнитного поля в отдельных достаточно малых прямолинейных участках катушки будут индуцироваться импульсы электродвижущей силы:

где число витков проволоки в рассматриваемом участке катушки, а — проекция вектора напряженности магнитного поля на направление нормали к поперечному сечению катушки в рассматриваемом месте.

Рис. 307. Схема, поясняющая, почему магнитное напряжение пропорционально числу вольт-секунд, индуцированных в катушке пояса Роговского.

Мы видим, таким образом, что магнитное напряжение между теми точками возникающего или исчезающего поля,

где находятся концы пояса Роговского, будет пропорционально общему числу индуцированных вольт-секунд:

где К — постоянная прибора

Рис. 308. Измерение магнитного напряжения поясом Роговского.

Рис. 308 поясняет, как посредством пояса Роговского можно измерить магнитное напряжение между точками 1 и 2 поля, создаваемого электромагнитом. Включая ток, питающий электромагнит, отмечают баллистическое отклонение гальванометра, имеющего большой собственный период качания подвижной системы и градуированного в вольт-секундах. Изменив форму кривой, с которой совмещен пояс Роговского (изменив «путь интегрирования»), и повторив измерение при новом включении тока той же величины, нетрудно убедиться, что магнитное напряжение между точками 1 и 2 не зависит от пути.

Сблизив концы пояса Роговского так, чтобы пояс не охватывал линии тока, мы обнаружим, что при включении тока, питающего электромагнит, число индуцированных вольт-секунд равно нулю, так как равна нулю магнитодвижущая сила для любого замкнутого контура, не охватывающего линии тока.

Варьируя указанный опыт так, чтобы катушка пояса один или несколько раз охватывала линию тока, и отмечая показания баллистического гальванометра при включении тока, мы получаем подтверждение формулы § 62 : (рис. 309).

Электродинамический закон Фарадея в совмещении с законом Ома [формула (2)] делает понятным, почему даже небольшие изменения магнитного поля в массивных проводниках, имеющих малое сопротивление вызывают большие индуцированные токи. В этом случае индуцированные токи оказываются короткозамкнутыми в теле проводника и поэтому при небольшой электродвижущей силе такие токи обладают большой плотностью. Индуцированные

токи, короткозамкнутые в теле проводника, носят название вихревых токов, или токов Фуко — по имени ученого, открывшего и впервые исследовавшего их.

Когда токи Фуко возбуждаются движением массивного проводника в магнитном поле, то согласно правилу Ленца токи Фуко имеют такое направление, что создаваемое ими магнитное поле противодействует движению проводника.

Рис. 309. (см. скан) Индукционные опыты, показывающие, что для контуров, охватывающих линию тока, магнитодвижущая сила кратна величине когда контур замкнут (рис. а) или когда замкнутой является проекция контура на плоскость, перпендикулярную к линии тока (рис. б).

Например, если между полюсами электромагнита мы подвесим на сильно закрученной нити медный кубик (рис. 310), то быстрое вращение этого кубика при раскручивании нити превращается, как только мы включим ток, питающий электромагнит, в медленное, едва заметное движение, как если бы кубик неожиданно оказался погруженным в вязкую жидкость; достаточно разомкнуть ток, питавший электромагнит, и быстрое вращение кубика при раскручивании нити сейчас же возобновляется.

В массивном проводнике, передвигаемом в магнитном поле, вследствие токов Фуко выделяется большое количество тепла. Во избежание этих потерь на нагревание вихревыми токами якори динамо-машин и сердечники трансформаторов делают не из сплошного железа, а из тонких пластин или же проволок с изолирующими

прослойками, перпендикулярными к возможным направлениям токов Фуко (рис. 311). Для уменьшения потерь на токи Фуко при изготовлении трансформаторных сердечников часто применяют так называемое легированное железо, содержащее от 2 до 4% кремния. Эта примесь кремния почти не влияет на магнитные свойства железа, но значительно понижает его электропроводность, что соответственно снижает силу токов Фуко.

Рис. 310. Демонстрация вихревых токов.

Рис. 311. Для снижения потерь, вызываемых вихревыми токами, сердечники трансформаторов собирают из изолированных железных пластин.

Интенсивным выделением тепла при большой величине токов Фуко пользуются в электрометаллургии для плавки металла, помещаемого в переменное магнитное поле (металл, подлежащий плавке, загружают в полость индукционной печи; обмотку этой печи питают мощным переменным током, имеющим частоту 500—2000 герц, а в лабораторных установках — десятки и сотни тысяч герц; в таких печах, применяемых для выработки высококачественных сплавов, при подведенной мощности в 600 квт тонна металла плавится 40—50 мин.).

Тормозящим действием токов Фуко пользуются для устройства магнитных успокоителей (демпферов). Например, если под качающейся в горизонтальной плоскости магнитной стрелкой расположить массивную медную пластину, то токи Фуко, возбужденные в этой пластине, будут тормозить («успокаивать», «тушить») колебания стрелки. Магнитные успокоители такого рода часто применяют в гальванометрах, сейсмографах и других приборах.

Когда по проводнику протекает быстропеременный ток, то вихревые токи, индуцируемые в этом проводнике, препятствуют равномерному распределению плотности тока по поперечному сечению проводника: плотность тока на оси провода оказывается меньше,

чем у его поверхности, т. е. ток вытесняется на поверхность провода. Это явление называется скин-эффектом.

Скин-эффект является следствием индуктивности провода. При нарастании тока электродвижущая сила самоиндукции направлена против тока.

Рис. 312. Относительное увеличение сопротивления круглого провода вследствие скин-эффекта.

Электрическое поле самоиндукции имеет наибольшую напряженность по оси проводника (так как количество линий магнитной индукции, охватывающих ось проводника, больше количества линий, охватывающих поверхность проводника, на число всех тех кольцевых линий магнитного поля в проводнике, радиус которых меньше радиуса проводника), а поэтому для поверхностных участков проводника соответственно меньшую величину имеет и производная Большая величина обратного электрического поля самоиндукции у оси проводника и является причиной неравномерного распределения плотности тока: плотность тока убывает от поверхности к оси проводника, и тем резче, чем больше частота тока; т. е. чем больше частота, тем больше ток вытесняется на поверхность провода. При наиболее высоких радиочастотах плотность тока в проводе на глубине всего лишь уменьшается до одной миллионной доли своей величины у поверхности.

Вследствие скин-эффекта омическое сопротивление провода быстропеременному току значительно превышает сопротивление того же провода постоянному току возрастание сопротивления зависит от отношения радиуса провода к величине I, которую называют глубиной проникновения. Для медных проводов где частота тока в герцах. Как показывает рис. 312, когда радиус провода в 6 —7 раз превышает глубину проникновения,

провод оказывает переменному току сопротивление приблизительно в 3,5 раза большее, чем постоянному току. При герц такое возрастание сопротивления наблюдается для провода диаметром около как при герц глубина проникновения, согласно прйведенному выше выражению, Для переменного тока с частотой в 50 герц велико и скин-эффект сказывается только для очень толстых кабелей (медных или алюминиевых; в железных проводах вследствие большой магнитной проницаемости он проявляется сильнее).

Учитывая скин-эффект, провода для переменных токов высокой частоты обычно сплетают из большого числа тонких проводящих нитей, изолированных друг от друга эмалевым покрытием (лит-цендрат)] для очень больших высокочастотных токов применяют также трубчатые провода.