§ 58. Магнитные величины и соотношения, аналогичные электрическим

Из закона Кулона следует, что напряженность поля уединенного магнитного полюса (например, полюса очень длинного тонкого магнита, другой полюс которого находится за пределами рассматриваемой области пространства) на расстоянии от полюса равна

Рис. 221 Плечо сил, поворачивающих стрелку в однородном магнитном поле, равно и поэтому момент сил

Эта формула аналогична формуле, определяющей напряженность электрического поля уединенного заряда. Поэтому при исследовании поля магнитов можно использовать некоторые понятия и математические приемы электростатики.

Так, например, тонкий намагниченный стержень можно рассматривать как диполь. Произведение полюса магнитного диполя на расстояние к называют магнитным моментом:

Эту величину, как и электрический момент, считают вектором, направленным по оси диполя.

Когда магнитный диполь помешен в однородное магнитное поле (рис. 221), момент сил, поворачивающих диполь, равен

где угол, составляемый осью диполя с направлением поля. Наибольшим этот момент сил, действующих на диполь, будет в том случае, если ось диполя перпендикулярна к направлению поля

При малых отклонениях диполя (магнитной стрелки) от равновесного положения в поле

Стало быть, для крутильных колебаний произведение напряжен-ностиполя на магнитный момент диполя играет роль «коэффициента возвращающего момента»; подставляя его в известную формулу для крутильных колебаний § 57, формула (12)], получаем для периода колебаний магнитной стрелки формулу, приведенную в конце предыдущего параграфа.

Когда поле образовано несколькими магнитными полюсами, напряженность магнитного поля можно определить (так же, как и напряженность электрического или гравитационного поля), складывая геометрически напряженности полей, образованных отдельными магнитными полюсами.

Напряженность поля магнитного диполя, очевидно, должна выражаться соотношениями, аналогичными напряженности поля электрического диполя (§ 4); на расстоянии от центра диполя в направлении его оси (при напряженность поля равна

Для того же расстояния в направлении, перпендикулярном к оси, она в два раза меньше. Вычисление показывает, что в направлении, которое составляет угол с осью диполя, напряженность поля на расстоянии от оси диполя равна:

Изображая магнитное поле посредством силовых линий, придерживаются соглашения выбирать густоту линий так, чтобы эта густота определяла величину напряженности поля: если напряженность поля равна эрстед, то через площадку в (перпендикулярную к направлению линий) проводят линий.

Подобно тому как в электрическом поле на границе двух диэлектрических сред часть силовых линий прерывается, точно так же и в магнитном поле часть силовых линий прерывается на границе сред, имеющих неодинаковую магнитную проницаемость. Иначе говоря, нормальная (к поверхности раздела) составляющая

напряженности магнитного поля испытывает скачок при переходе из одной среды в другую, причем

[аналогично уравнению (8) § 61.

Тангенциальные составл яющие напр яженности магнитного поля изменяются (при переходе через границу раздела сред) непрерывно. Поэтому на границе раздела двух сред происходит «преломление» магнитных силовых линий.

Как и в случае электрического поля, более удобно изображение магнитного поля посредством линий индукции. Вектор В магнитной индукции определяется аналогично вектору электрической индукции уравнением

а в анизотропной среде — более общим уравнением

где намагниченность среды формула (8)].

Абсолютная единица магнитной индукции носит название гаусса (очевидно, что в вакууме число гауссов совпадает с числом эрстед).

Через поперечного сечения проводят столько линий индукции, сколько единиц в числе В.

Магнитную индукцию в любой среде можно рассматривать как напряженность поля в бесконечно узком зазоре, который расположен перпендикулярно к направлению поля (§ 6):

Число линий магнитной индукции, проходящих сквозь какую-либо поверхность проведенную в поле, называют потоком магнитной индукции и обозначают через Ф:

[сравнить с формулой (10) в § 6]. Абсолютную единицу потока магнитной индукции (1 гаусс называют максвеллом.

Часто пользуются в 10 раз большей единицей магнитного потока, которую называют вольт-секундой (это последнее название пояснено в § 72).

Следует иметь в виду, что при графическом изображении магнитного поля почти всегда вычерчивают линии индукции, а не силовые линии. При этом густоту линий выбирают так, чтобы число линий индукции, проходящих через площадку в (перпендикулярную к направлению линий), было равно В (или, в условно упрощенном чертеже, пропорционально В).

Так как никаких «магнитных зарядов» не существует и в теле магнита к любому магнитному полюсу подходит столько же линий магнитной индукции, сколько исходит из него наружу (рис. 222), то по теореме Остроградского — Гаусса (§ 5) поток магнитной индукции через любую замкнутую поверхность в магнитном поле алгебраически всегда равен нулю:

Это означает, что линии магнитной индукции не имеют начала и конца, т. е. всегда представляют собой замкнутые кривые.

Применяя теорему Остроградского — Гаусса не к алгебр а ическому, а к арифметическому числу линий индукции (т. е. оставляя временно без внимания то обстоятельство, что от магнитного полюса исходит наружу столько же линий индукции, сколько подходит к нему в теле магнита) и повторяя рассуждения, которые были приведены в связи с обоснованием теоремы Остроградского — Гаусса в электростатике мы приходим к выводу, что магнитный полюс величиной в магнитных единиц связан с линиями магнитной индукции. Однако эта связь магнитного полюса с линиями магнитной индукции существенно отличается от численно такой же связи заряда с линиями электрической индукции. Действительно, в случае заряда электростатических единиц линии электрической индукции в числе исходят от заряда как бы зарождаясь в нем. В случае магнитного полюса величиной в магнитных единиц линии магнитной индукции в числе исходят из этого полюса, но столько линий магнитной индукции с противоположной стороны (или из тела магнита) и подходит к полюсу, т. е. указанное число линий индукции проходит через полюс и ни одна из них не начинается и не кончается в нем. Указанное число линий магнитной индукции является, в сущности, мерой величины полюса как места наибольшей концентрации поля.

Рис. 222. Линии магнитной индукции стержневого магнита.

Так, если поперечное сечение полюса магнита измеряется площадью то магнитная индукция в случае однородности поля здесь равна:

(это ясно из того, что число линий индукции, связанных с полюсом равно стало быть, поток индукции, проходящий через площадку равен

В ферромагнитных телах происходит сгущение линий магнитной индукции подобно сгущению линий электрической индукции в диэлектриках (рис. 223).

Плотность энергии магнитного поля определяется формулой, аналогичной формуле для плотности энергии электрического поля а именно:

Рис. 223. Железное кольцо в однородном магнитном поле (сгущение линий индукции в железе).

Как и в электрическом поле, картина линий магнитной индукции всегда получается такой, как если бы в поле, которое изображается этими линиями, существовали натяжение (по линиям поля) и боковое давление (в направлении, перпендикулярном к линиям поля); величины продольного натяжения и равного ему поперечного давления в любом месте равны плотности энергии поля:

Если в этой формуле напряженность поля выражена в эрстедах, то величина напряжения отнесенная к площадки, перпендикулярной к силовым линиям, а также и величина бокового давления окажутся выраженными в .