§ 6. Вектор электрической индукции

Если электрическое поле заполнено различными диэлектриками, то в этих случаях теорема Остроградского — Гаусса в приведенной выше формулировке для расчетов непригодна.

Так, например, представим себе, что точечный заряд помещен в центре воздушного пузырька, который находится, скажем, в масле с диэлектрической постоянной (диэлектрическая постоянная

воздуха близка к единице). Тогда вокруг заряда в воздухе имеются линий и густота их у самой поверхности воздушного пузырька, имеющего форму шара с радиусом равна . По другую сторону этой поверхности, в масле, напряженность поля и густота линий равны в раз меньше, и общее число выходящих из поверхности линий тоже в раз меньше: оно равно вместо При переходе через границу раздела диэлектриков, таким образом, потеряно некоторое число линий (рис. 5).

Рис. 5. Электрический заряд расположен в центре воздушного пузырька, находящегося в масле. На поверхности раздела воздух — масло часть силовых линий прерывается.

В нашем случае силовые линии перпендикулярны к поверхности раздела. В общем случае, когда силовые линии проходят под углом к поверхности раздела, нормальные составляющие векторов напряженностей электрического поля испытывают такой же скачок, как и в разобранном случае, т.е. нормальная составляющая напряженности всегда уменьшается во столько раз, во сколько возрастает диэлектрическая постоянная.

Рис. 6. Преломление силовых линий на границе двух диэлектриков — керосина (1) и воздуха (2), Поскольку то по уравнению тогда как Вследствие этого вектор больше, чем и имеет другое направление.

Если одна среда имеет диэлектрическую постоянную а другая то скачок нормальных составляющих напряженностей поля определяется следующим уравнением:

где нормальная составляющая напряженности поля в первой среде, а нормальная составляющая напряженности поля во второй среде Тангенциальные составляющие параллельные границе раздела, при переходе из одной среды в другую изменяются непрерывно, без скачка. Благодаря этому происходит «преломление» силовых линий на границе двух сред (рис. 6). Чтобы сохранить все

преимущества, которые вытекают из теоремы Остроградского — Гаусса, вместо напряоюенности, которая испытывает скачок на поверхности раздела двух сред, надо ввести новую величину, для которой такого скачка не имелось бы. Нетрудно указать такую величину. Так как при переходе в среду с диэлектрической постоянной сила поля и число линий, ее изображающих, уменьшаются в раз, то введем векторную величину для электрического поля: Очевидно, что эта величина остается неизменной при переходе в новую среду ( уменьшается во столько же раз, во сколько раз возрастает Вектор называют электрической индукцией.

Рис. 7. Индукция поля в диэлектрике измеряется силой, действующей на заряд в узком поперечном зазоре.

Каков физический смысл вектора электрической индукции? Чтобы разобраться в этом, вспомним, что вектор напряженности в любой точке электрического поля и в любой среде представляет собой силу, которая действовала бы на единицу положительного электричества, помещенную в этой точке поля. Теперь представим себе, что в среде с диэлектрической постоянной образован бесконечно тонкий вакуумный зазор, грани которого перпендикулярны к направлению поля в рассматриваемом месте (рис. 7). Если в эту вакуумную щель поместить точечный «пробный» заряд величиной в единицу положительного электричества, то сила, с которой поле будет действовать на этот заряд, окажется равной не а индукции Действительно, на гранях раздела среды, имеющей диэлектрическую постоянную и вакуума, диэлектрическая постоянная которого равна единице, напряженность поля испытывает скачок согласно уравнению (8):

А так как, по определению, то, стало быть,

Итак, вектор электрической индукции представляет собой силу, действующую на точечный заряд в единицу положительного электричества, когда этот заряд помещен в бесконечно узком зазоре, грани которого перпендикулярны к направлению поля.

Заметим, что если бы тонкий вакуумный зазор был расположен не перпендикулярно к силовым линиям, а параллельно им (рис. 8), то сила, действующая на пробный заряд, помещенный в такую параллельную щель, была бы равна Е:

Это объясняется тем, что, как отмечено выше, тангенциальные составляющие напряженности поля не испытывают скачка на границе раздела двух сред.

Название вектора («вектор индукции») указывает на связь этого вектора с явлением электризации по влиянию — с явлением электростатической индукции. И в самом деле, при определенных, и притом наипростейших, условиях электризация проводников по влиянию действительно пропорциональна величине вектора Подробнее это пояснено в следующем параграфе.

(Вместо вектора электрической индукции нередко вводят в рассмотрение вектор электрического смещения, отличающийся от вектора электрической индукции коэффициентом так что некоторые авторы называют этот вектор электрической возбужденностью.)

Рис. 8. Напряженность поля в диэлектрике измеряется силой, действующей на заряд в узкой продольной щели.

Так же как раньше поле изображалось при помощи силовых линий, густота которых измеряла силу поля, мы можем теперь изображать линии индукции, совпадающие по направлению с силовыми линиями (только в кристаллах индукция может не совпадать по направлению с силой поля). Чтобы изобразить величину индукции, мы опять условимся проводить через поперечного сечения столько линий индукции, сколько абсолютных электростатических единиц в числе

Главное преимущество индукции заключается в безусловной применимости теоремы Остроградского — Гаусса: общее алгебраическое число линий индукции проходящих через любую замкнутую поверхность, не зависит от диэлектрических свойств среды и равно

где заряды, находящиеся внутри этой поверхности (см. предпоследний абзац предыдущего параграфа).

В пустоте число линий индукции и число силовых линий совпадают.

Число линий индукции, проходящих сквозь какую-либо поверхность, проведенную в поле, называют потоком индукции сквозь данную поверхность.

Очевидно, что в равномерном поле поток индукции через площадку в расположенную перпендикулярно к направлению поля, равен численному значению вектора индукции

В неравномерном ноле поток индукции через бесконечно малую площадку перпендикулярную к равен

Если площадка расположена под острым углом к направлению поля и есть проекция площадки (рис. 9), то поток индукции через площадку будет таким же, как и через площадку равным Иначе говоря, он равен как Произведение можно записать и так: где проекция вектора на нормаль к площадке Итак, поток индукции через площадку равен произведению

Для вычисления потока индукции через некоторую поверхность нужно образовать сумму потоков индукции через все элементарно малые площадки, из которых состоит поверхность Такая сумма бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых выражается интегралом, «распределенным по поверхности

Рис. 9. Поток индукции через площадку равен

По теореме Остроградского — Гаусса поток электрической индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю, если внутри этой поверхности электрические заряды отсутствуют; поток электрической индукции равен нулю также и в том случае, если алгебраическая сумма зарядов, охватываемых поверхностью, равна нулю. Если же алгебраическая сумма зарядов в рассматриваемом объеме отлична от нуля и равна то поток индукции через поверхность, охватывающую этот объем, равен

Внешние заряды не влияют на величину потока индукции через замкнутую поверхность (сколько линий индукции от внешних зарядов входит через эту поверхность, столько и выходит).

Основываясь на теореме Остроградского — Гаусса в форме (9), еще раз обратимся к характеристике поля в бесконечно тонкой вакуумной полости, имеющей вид узкой щели, грани которой перпендикулярны к направлению поля в диэлектрике. Вследствие непрерывности линий индукции густота линий индукции в такой щели при достаточной протяженности ее граней будет такой же, как и в Диэлектрике. Стало быть, если есть вектор электрической индукции в диэлектрике, же в указанном вакуумном зазоре, то Но индукция в вакууме совпадает по величине и направлению с напряженностью поля следовательно,