§ 75. Взаимная индуктивность. Энергия взаимодействия токов. Коэффициент взаимной индукции катушек с общим сердечником

Подобно тому как явление самоиндукции количественно характеризуется индуктивностью цепи, явление взаимной индукции контуров (§ 70, рис. 300 и 301) определяется взаимной индуктивностью проводящих цепей. Под величиной взаимной индуктивности или коэффициента взаимоиндукции контуров 1 и 2 понимают общий для этих контуров поток магнитной индукции (т. е. число тех линий магнитной индукции, которые пронизывают площади, ограниченные обоими контурами), когда в одном из контуров протекает ток, равный единице (рис. 320). Поскольку напряженность магнитного поля в любой точке пропорциональна величине тока, создающего поле, то и магнитный поток создаваемый током который протекает в контуре 1, пропорционален току [причем коэффициент пропорциональности согласно формуле (5) представляет собой индуктивность контура Часть упомянутого магнитного потока, пронизывающая контур 2, очевидно, также пропорциональна току

причем коэффициент пропорциональности представляет собой взаимную индуктивность контуров 1 к При

Рис. 320 Взаимная индуктивность проводников измеряется общим потоком магнитной индукции, который создается током в одном из проводников и пронизывает площади, ограниченные контурами обоих проводников.

Поскольку через контур 2 проходит ток то для величины общего магнитного потока, создаваемого током и пронизывающего контур рассуждая аналогично, мы можем написать выражение

Нетрудно доказать, что коэффициент пропорциональности в этой формуле тождествен коэффициенту пропорциональности в предыдущей формуле, т. е. представляет собой ту же самую взаимную индуктивность контуров: Чтобы убедиться в этом, определим работу, которая может быть совершена силами магнитного поля при сближении контуров из бесконечности до рассматриваемого положения. Эта работа, как мы знаем (§ 66), равна произведению величины тока в контуре на приращение магнитного потока, пронизывающего этот контур. Если первый контур с током мы оставляем неподвижным и в магнитном поле, которое создается током приближаем до заданного положения второй контур с током то, учитывая, что магнитный поток, пронизывающий контур 2, увеличивается от нуля до для работы, совершаемой силами поля, получаем выражение

Очевидно, что ту же работу мы получим, если неподвижным будет оставаться второй контур с током а приближать мы будем первый контур с током Поскольку магнитный поток, пронизывающий приближаемый первый контур и создаваемый током увеличивается от нуля до то работа будет равна

Сопоставляя два полученных выражения для работы сближения контуров, обтекаемых токами мы убеждаемся, что

Этим оправдывается приведенное выше определение взаимной индуктивности, в котором не было оговорено, какой из контуров мы считаем имеющим ток

Если взаимная индуктивность контуров измерена не в абсолютных единицах — сантиметрах, а в генри и ток в амперах, но величина по-прежнему выражена в максвеллах, то в соответствии с преобразованием формулы (5) в (6)

[Числовой коэффициент здесь, как и в формуле (6), становится равным единице, если магнитный поток измерять в вольт-секундах (веберах).]

При изменении тока в одном из контуров во втором контуре согласно закону Фарадея индуцируется электродвижущая сила

где выражено в генри и в амперах.

Аналогично, когда изменяется ток то в первом контуре индуцируется электродвижущая сила

Из этих формул следует, что взаимная индуктивность двух проводников равна электродвижущей силе, которая индуцируется в одном из проводников, когда ток в другом проводнике изменяется на единицу величины в 1 секунду.

Согласно сказанному выше энергия взаимодействия токов (т. е. работа, которая может быть совершена силами магнитного поля токов при удалении проводников с токами из рассматриваемого положения в бесконечность) равна

Если выражено в сантиметрах, а величины токов в абсолютных магнитных единицах, то энергия взаимодействия токов получается выраженной в эргах. Когда взаимная индуктивность выражена в генри, а величины токов в амперах, то формула (18) дает значение в джоулях.

Рис. 321 К вычислению взаимной индуктивности катушек без учета «магнитной утечки».

Очевидно, что полная энергия магнитного поля двух токов равна

В заключение подсчитаем взаимную индуктивность катушек, имеющих общий ферромагнитный тороидальный сердечник (рис. 321). В этом случае почти весь (приближенно мы будем счйтать, что весь) магнитный поток, создаваемый током в первой катушке, пронизывает вторую катушку. Если индуктивность (в генри) первой катушки и число витков в ней, то магнитный поток в сердечнике при величине тока в первой катушке ампер, умноженный на число, показывающее, сколько раз каждая линия индукции охватывает линию тока т. е. на равен

Каждая из линий магнитного потока в сердечнике раз охватывает провод второй катушки число витков в ней); это равносильно тому, что линий индукции по одному разу охватывают контур второго проводника. Таким образом,

Сопоставляя это выражение с (16), находим коэффициент взаимной индукции двух катушек, имеющих общий сердечник:

или, принимая во внимание (13),

где площадь поперечного сечения сердечника и его длина.