§ 80. Емкостное сопротивление и индуктивное сопротивление

Допустим, что переменная электродвижущая сила с амплитудой приложена к обкладкам конденсатора (рис. 336). Электрическая цепь состоит в этом случае из одной емкости С.

Конденсатор не представляет собой разрыва в цепи переменного тока, в диэлектрике конденсатора цепь замыкают токи смещения.

Если приложенная к конденсатору переменная электродвижущая сила синусоидальна,

то, поскольку заряд конденсатора в любой момент равен произведению емкости конденсатора С на разность потенциалов его обкладок

Пусть за бесконечно малый промежуток времени заряд изменяется на Ток в проводниках, подводящих заряды к конденсатору, будет равен

или, что то же,

Мы видим, что амплитуда тока в цепи конденсатора и амплитуда вызывающего этот ток напряжения, а следовательно, и их эффективные значения связаны соотношением

Рис. 336. Прохождение переменного тока через емкость.

Эта зависимость подобна закону Ома; роль сопротивления играет здесь величина

эту величину называют реактивным сопротивлением конденсатора, или просто емкостным сопротивлением. Очевидно, что при увеличении т. е. при увеличении частоты, емкостное сопротивление уменьшается.

При зарядке конденсатор потребляет энергию, при разряде он отдает ее обратно в цепь; в любой момент мощность равна

На рис. 337 дан график изменения энергии. Мы видим, что при росте абсолютной величины напряжения мощность положительна, генератор затрачивает ее на образование электрического поля; при уменьшении напряжения мощность отрицательна, конденсатор

отдает энергию за счет распада электрического поля. Так как в течение одного периода конденсатор отдает обратно энергии столько, сколько он получил (если не учитывать рассеяние энергии при знакопеременной поляризации диэлектрика и утечку зарядов при плохой изоляции), то мощность, потребляемая конденсатором, в среднем равна нулю.

Рис. 337. Диаграмма мощности для чисто емкостной нагрузки.

Максимум тока не совпадает по времени с максимумом напряжения (см. рис. 336). К моменту, когда наступает максимум напряжения, зарядка конденсатора уже завершается; соответственно максимум тока наступает на четверть периода раньше, чем максимум напряжения: ток, проходящий через емкость, на четверть периода опережает напряжение.

Емкостное сопротивление 1 микрофарады при токе в 50 периодов в 1 сек. равно

Емкостное сопротивление

(см. скан)

Рассмотрим теперь случай, когда синусоидальная электродвижущая сила приложена к катушке (например, к катушке

электромагнита), обладающей постоянной самоиндукцией Через катушку будет протекать синусоидальный ток

При этом в катушке мы получим противоэлектродвижущую силу, пропорциональную скорости изменения тока и коэффициенту самоиндукции катушки:

Приложенная к катушке электродвижущая сила должна в любой мохмент уравновешивать противоэлектродвижущую силу катушки, т. е. она должна быть ей численно равна и противоположна по знаку:

Мы видим отсюда, что между амплитудой тока в катушке и амплитудой напряжения, вызывающего этот ток, существует следующее соотношение:

Рис. 338. Прохождение переменного тока через индуктивную катушку.

Это соотношение справедливо, конечно, и для эффективных значений. Здесь роль сопротивления катушки переменному току играет величина

Эту величину называют реактивным сопротивлением катушки, или просто индуктивным сопротивлением. Ток через катушку достигает максимума в момент, когда электродвижущая сила самоиндукции убывает до нуля; соответственно в этом случае ток уже не опережает напряжение, как для случая конденсатора, а, напротив, ток на четверть периода отстает от приложенного напряжения (рис. 338).

Средняя мощность, потребляемая катушкой (если не учитывать потерь, вызываемых сопротивлением провода катушки току — «плохим качеством» катушки), равна нулю: энергия, затрачиваемая при возрастании тока на образование магнитного поля катушки, вновь отдается в последующую четверть периода.

Индуктивное сопротивление 1 генри при токе в 50 периодов в 1 сек. равно ом.

Индуктивное сопротивление

(см. скан)

На стр. 394 были выведены формулы для нарастания тока в цепи, состоящей из катушки с индуктивностью и активного сопротивления включенных последовательно, когда к такой цепи подведено напряжение

и для убывания тока в указанной цепи при ее размыкании

Если цепь состоит из конденсатора с емкостью С и последовательно включенного активного сопротивления то падение напряжения в этой цепи слагается из падения напряжения на активном сопротивлении и падения напряжения на конденсаторе заряд конденсатора в момент времени когда к конденсатору приложено напряжение

Следовательно, ток через конденсатор и сопротивление в любой момент времени определяется соотношением

Отсюда

Интегрирование этого уравнения от до и соответственно от до приводит к формуле, определяющей нарастание со

временем заряда конденсатора:

или

Так как то согласно (6)

Следовательно, в первый момент ток имеет такую величину какую он имел бы, если бы не было «разрыва» цепи, создаваемого конденсатором;

Рис. 339. Зависимость от времени тока при включении гармонической в цепь: катушки и сопротивления (слева) и конденсатора и сопротивления (справа).

через промежуток времени ток уменьшается в 2,718 раза. Величину называют постоянной времена (она получается выраженной в секундах, если С измерено в фарадах в омах).

Аналогично для цепи, состоящей из катушки с индуктивностью и последовательно включенного активного сопротивления согласно (5) постоянная времени равна отношению

Когда к цепи, состоящей из катушки с индуктивностью (или же из конденсатора с емкостью С) и последовательно включенного активного сопротивления подведено переменное напряжение изменение тока в цепи происходит так, что в каждый данный момент ток оказывается равным сумме: стационарного переменного тока черезэту цепь и тока, возрастающего по формуле (4) [или же — для цепи с конденсатором — убывающего по формуле (7)]. Получающийся в итоге ток показан на рис. 339 сплошной линией.

Любая электропроводная цепь обладает индуктивностью, которая в главной своей части определяется магнитным полем между проводами, несущими прямой и обратный ток. Соответствующая этому зависимость индуктивности от формы и размеров цепи рассмотрена на стр. 398—401. Но, кроме того, каждый проводник обладает еще и некоторой внутренней индуктивностью, которая определяется внутренним магнитным полем в проводнике. При очень малой частоте переменного тока, когда плотность тока можно считать распределенной равномерно по поперечному сечению проводника, внутренняя индуктивность провода круглого сечения для каждого сантиметра его длины численно равна магнитной проницаемости вещества провода:

где длина провода в сантиметрах.

Вследствие внутренней индуктивности провод, кроме омического сопротивления, имеет также внутреннее индуктивное сопротивление. Однако при увеличении частоты тока внутреннее индуктивное сопротивление провода возрастает не пропорционально частоте тока, как, казалось бы, следует из выражения но для больших частот приблизительно пропорционально корню квадратному из частоты. Это объясняется вытеснением тока при большой частоте на поверхность провода (т. е. скин-эффектом, стр. 389). Скин-эффект приводит к уменьшению магнитного поля в проводе и соответственно к уменьшению индуктивности провода. Если учесть это и, вычислив индуктивное сопротивление провода сопоставить его с активным сопротивлением того же провода постоянному току, то обнаруживается, что отношение близкое к нулю для малых частот тока, в области больших частот возрастает пропорционально частному от деления радиуса провода на «глубину проникновения» что и соответствует пропорциональности корню из частоты (так как Сравнивая рис. 340 с рис. 312 (на стр. 389), нетрудно увидеть, что при большой частоте тока внутреннее индуктивное сопротивление провода немногим меньше (примерно на чем его увеличившееся вследствие скин-эффекта активное сопротивление току той же частоты

Рис. 340, Зависимость от частоты внутреннего индуктивного сопротивления круглого провода (по отношению к сопротивлению постоянному току), выраженная через отношение радиуса провода к «глубине проникновения». Пунктир воспроизводит рис. 312 на стр. 389).