§ 14. Расчет электроемкости конденсаторов

Когда одна пластина конденсатора заряжена до потенциала а другая потенциала то внутри, между пластинами конденсатора, поверхности уровня расположены параллельно пластинам. Силовые линии электростатического поля между обкладками конденсатора идут перпендикулярно к поверхностям уровня. Поэтому внутри плоского конденсатора они представляют собой

параллельные прямые линии, направленные перпендикулярно к плоскостям конденсатора. Однако у краев конденсатора они изгибаются наружу (рис. 35).

Внутри плоского конденсатора, вдали от краев пластин, поле имеет всюду одинаковую напряженность, т. е. оно однородно. Однородность поля нарушается при приближении к краю пластин. Если бы пластины были бесконечного протяжения, то поле между ними всюду было бы строго однородным. Поэтому отклонения от однородности будут тем незначительнее, чем больше размеры пластин сравнительно с расстоянием между пластинами. Таким образом, при достаточно малом расстоянии влияние краев, нарушающее однородность, может не приниматься во внимание.

Рис. 35.

Пусть на одной из пластин находится заряд электричества а на другой пластине будет такой же заряд, но противоположный по знаку, Из заряда исходит силовых линии, которые заканчиваются на заряде [форму-ла (7) § 5].

Силовой поток равен

где напряженность поля между пластинами конденсатора, площадь каждой пластины. Отсюда

Перемещая единицу положительного электричества с одной пластины конденсатора на другую, мы должны (по определению понятия «разность потенциалов») затратить работу, равную С другой стороны, мы можем сказать, что работа эта равна произведению силы на длину пути перемещения т. е. равна Значит, откуда

Сопоставляя формулы (а) и (б), находим, что

или, если одна обкладка конденсатора заземлена

Сравнивая это выражение с формулой мы видим, что емкость конденсатора равна

Вычисление емкости плоского конденсатора по формуле (4) сопряжено с некоторой ошибкой (при радиусе пластин в 10 см и при удаленности их друг от друга на ошибка составляет формула (13) не точна, так как при ее выводе мы оставили без внимания нарушение однородности поля у краев пластин.

Не останавливаясь на выводе, приведем формулы для вычисления емкости шаровых и цилиндрических конденсаторов. Емкость шарового конденсатора, образованного двумя концентрическими металлическими сферами радиусов определяется формулой

Емкость цилиндрического конденсатора определяется формулой

(здесь - радиус внешней обкладки, радиус внутренней обкладки, длина цилиндрического конденсатора).

Электроемкость двух шаров, имеющих радиусы и расположенных на расстоянии между их центрами а, как показывает несложное вычисление, оказывается равной (для случая, когда расстояние между шарами превосходит их радиусы)

-гтхгх

Емкость двух цилиндрических проводников длиной расположенных параллельно друг другу на расстоянии а между их осями и имеющих радиусы равна (для случая, когда расстояние между проводниками во много раз больше радиуса проводников)

Электроемкость одиночного провода длиной имеющего радиус сечения и расположенного на высоте над землей, равна:

Как известно, для получения больших емкостей применяют параллельное соединение конденсаторов (рис. 36). При таком соединении одна серия обкладок имеет потенциал другая Обозначим емкости отдельных конденсаторов а их заряды Учитывая, что

и складывая все эти равенства, получаем:

или

где С есть суммарная емкость параллельно соединенных конденсаторов, вычисляемая по формуле:

Емкость батареи из параллельно соединенных конденсаторов равна сумме их емкостей.

Рис. 36. Параллельное соединение конденсаторов»

Рис. 37. Последовательное соединение конденсаторов.

Соединение конденсаторов, показанное на рис. 37, называется последовательным. В этом случае, если одной обкладке первого конденсатора сообщить заряд то на второй обкладке того же конденсатора индуцируется заряд — а на соединенной с ней первой обкладке второго конденсатора появится заряд [Равенство индуцированных зарядов следует (если не учитывать небольшого возможного рассеяния силовых линий на краях) из теоремы Остроградского — Обозначим потенциалы последовательных обкладок через (рис. 37), а емкости конденсаторов через Очевидно, что

Отсюда

Складывая указанные равенства, получаем:

или

где С есть емкость батареи последовательно соединенных конденсаторов, вычисляемая, как видно из предыдущего, по формуле

Если все конденсаторы одинаковы, то очевидно, что

т. е. емкость батареи из одинаковых конденсаторов, соединенных последовательно, в раз меньше емкости отдельного конденсатора.

Из формулы (6) заключаем, что если соединить последовательно конденсатор с малой емкостью и конденсатор с большой емкостью то получаемая в итоге емкость будет несколько меньше, чем меньшая из двух взятых емкостей. Действительно, по формуле (6)

Отсюда ясно, что чем больше в сравнении с тем меньше знаменатель приведенной формулы отличается от единицы и, следовательно, тем ближе будет С к Например, если к конденсатору в 100 см последовательно присоединить конденсатор в см, то получается емкость в 99 см.