24.3. МЕХАНИЗМ ФЕРМИ: ПЕРВЫЙ ВАРИАНТ

Рассмотрим механизмы ускорения Ферми с двух точек зрения. В этом разделе мы будем близко придерживаться оригинальной версии Ферми, только в несколько упрощенном виде.

В оригинальной работе Ферми рассматривал отражение заряженной частицы от «магнитных зеркал», связанных с магнитным полем Галактики (см. п. 13.1.2). Эти зеркала движутся в первом приближении случайно. Ферми рассмотрел, какова будет энергия частиц, которые находятся в этой области в течении некоторого времени

Разберем упрощенный вариант задачи, рассмотрев только одномерный случай. Пусть имеется много магнитных зеркал или облаков, движущихся навстречу частице и вдогонку. Частица будет испытывать столкновения с этими облаками «в лоб» и «вдогонку». Вычислим изменение энергии частицы после одного столкновения.

Рассматриваемая ситуация показана на рис. 24.1, а. Будем считать массу облака бесконечной, так как его скорость не меняется при столкновении. Тогда система центра инерции совпадает с облаком, движущимся со скоростью Энергия частицы в этой системе равна

Рис. 24.1. а — столкновение частицы массы с облаком массы М. б - столкновение частицы с облаками, движущимся в противоположных направлениях.

где

а релятивистский импульс —

При столкновении энергия частицы сохраняется а ее импульс меняет знак, Поэтому, переходя в систему отсчета наблюдателя, получим

После несложных преобразований это выражение приводится к виду

т. е.

Если произошло столкновение с догоняющей частицей, ее энергия должна уменьшится на величину

Однако заметим, что вероятность лобового столкновения больше. Из рис. следует, что частота столкновений пропорциональна относительной скорости частицы и облака, т. е. лобового столкновения и столкновения вдогонку. Поэтому вероятность первого равна а второго — Отсюда средний прирост энергии за соударение равен

Это выражение приводится к простому виду

При получаем Отсюда темп набора энергии равен

где число столкновений в секунду. Заметим, что это приводит к экспоненциальному росту энергии частицы.

Теперь предположим, что частица остается в области ускорения в течение характерного времени Выпишем диффузионное уравнение для ускорения частиц и найдем равновесное решение

Мы ищем стационарное решение, поэтому Диффузия нас не интересует, и можно положить Также будем считать, что источники частиц отсутствуют, В члене, описывающем потери энергии, в нашем случае Таким образом,

Рис. 24.2. Сравнение темпов ускорения и потерь энергии в механизме ускорения Ферми.

уравнение (24.5) приводится к виду

Дифференцируя по и приводя подобные члены, получим

Отсюда

Итак, нам удалось получить степенной энергетический спектр. Проблемы, однако, остаются. Согласно первоначальному предложению Ферми, считалось, что частицы в основном сталкиваются с межзвездными облаками. Основные трудности этой концепции заключаются в следующем:

1. Скорости облаков в Галактике очень малы по сравнению со скоростью света. Средняя длина свободного пробега ускоряющихся частиц между столкновениями не известна, но для космических лучей она должна быть равна по крайней мере Это значит, что мало надежды добиться таким образом эффективного ускорения частиц.

2. Мы не рассмотрели потери энергии частиц. Особенно следует обратить внимание на ионизационные потери, поскольку они препятствуют ускорению частиц низких энергий. Вспомним зависимость ионизационных потерь от энергии и сравним их с данным механизмом ускорения (рис. 24.2). Этот процесс будет иметь место, только если выполнено одно из двух условий. Либо ускорение начинается над горбом на графике потерь, либо оно происходит так быстро, что ионизационные потери не успевают отобрать значительную долю энергии.

3. Теория не дает никаких указаний на то, почему показатель спектра частиц во всех направлениях равен приблизительно 2,5.

Можно существенно улучшить ситуацию, если ограничиться областями с мелкомасштабной турбулентностью. Хорошим примером могут служить оболочки молодых остатков сверхновых, где наверняка присутствует развитая мелкомасштабная турбулентность. Однако и в этом случае отсутствует естественное объяснение того факта, что показатель спектра близок к 2,5.