19.2. ДИФФУЗИОННОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА ДЛЯ ЭЛЕКТРОНОВ КОСМИЧЕСКИХ ЛУЧЕЙ

Рассмотрим влияние указанных механизмов потерь энергии на спектр электронов космических лучей при распространении от источников к Солнечной системе. Сразу ясно, что описывать распространение космических лучей в магнитных полях — дело сложное, и чтобы прийти хоть к какому-нибудь результату, необходимо сделать достаточно сильные приближения. Более подробные модели распространения космических лучей мы рассмотрим ниже а сейчас воспользуемся, вероятно, простейшим способом описания динамики частиц — предположим, что они диффундируют в межзвездной среде. Обоснованием такого предположения служат многочисленные свидетельства нерегулярности структуры межпланетной среды, поэтому разумно считать, что и межзвездное магнитное поле является хаотическим. Тогда траектории частиц должны быть сильно запутанными, как в рассмотренном в разд. 13.3 случае межпланетных магнитных полей.

Для простоты и наглядности предположим, что динамика электронов описывается скалярным коэффициентом диффузии Задача состоит в том, чтобы получить уравнение в частных производных для функции распределения частиц в различных точках межзвездной среды с учетом

непрерывных потерь энергии и постоянного притока новых частиц от источников. Оно называется диффузионным уравнением переноса для электронов космических лучей. Мы приведем два вывода; один «на пальцах», а второй более изящный.

19.2.1. Простой вывод. Пусть количество электронов, инжектируемых в единицу времени в элемент объема равно Процесс приобретения и потерь энергии электроном будем описывать уравнением

так что если положительно, то частица отдает энергию. Рассмотрим сначала обусловленное этим процессом изменение спектра электронов в отсутствие инжекции. В момент число частиц в интервале энергий от до равно В последующий момент эти частицы замещаются теми, энергия которых в момент попадала в интервал от до где

Разлагая в ряд Тейлора по малым и вычитая первое равенство из второго, получим

за время меняется на величину

Совершая еще одно разложение в ряд Тейлора по малым и подставляя получим

откуда получаем

Это уравнение описывает временную эволюцию спектра электронов, находящихся в элементарном объеме А К, в случае, когда изменяется только энергия каждого электрона. Теперь в это уравнение переноса можно ввести другие члены. Так, если происходит постоянная инжекция частиц со скоростью в секунду на единицу объема, уравнение принимает вид

В результате диффузии частицы входят в объем и покидают его. Этот процесс определяется градиентом плотности частиц Задаваясь скалярным коэффициентом диффузии можем обычным образом написать

Это уравнение называется диффузионным уравнением переноса релятивистских электронов.

Рис. 19.3. Фазовое пространство, используемое при выводе уравнения переноса космических лучей.

19.2.2. Элегантный вывод. Альтернативный более изящный вывод получится, если ввести фазовое пространство, в котором энергия откладывается по оси у, а пространственные координаты — по оси Легко представить себе и более общий трехмерный случай (рис. 19.3). Обозначим потоки частиц через различные поверхности в фазовом пространстве через В маленьком прямоугольнике частицы перемещаются вдоль оси х в результате диффузии, а вдоль оси у — когда теряют или приобретают энергию. Число частиц в бесконечно малом интервале с энергией от до равно

Поэтому скорость изменения концентрации частиц в этой малой области фазового пространства равна

где скорость образования электронов в единице объема фазового пространства. Разлагая в ряд Тейлора и опуская аргумент, получим

где поток частиц в точке х с энергией Он по определению равен

Отсюда получаем

Это уравнение можно очевидным образом обобщить:

Здесь поток частиц через отрезок имеющих в момент энергию Если темп потерь энергии частицей равен то число частиц, проходящих в единицу времени через поверхность равно

Отсюда получаем, как и выше с формулой (19.21)],

Заметим, что при необходимости в это уравнение можно ввести дополнительные члены. Если описывает не электроны, а атомные ядра, то можно учесть рождение и уничтожение частиц в реакциях расщепления, радиоактивный распад, аннигиляцию и т.д.

19.2.3. Решения уравнения диффузии электронов космических лучей. Можно решить уравнения переноса при конкретных распределениях источников и граничных условиях. Это делается, например, в классической монографии Гинзбурга и Сыроватского «Происхождение космических лучей» [4] и в последующих статьях Гинзбурга, Догеля и Сыроватского (см., например, [11]). Однако многие важнейшие результаты можно получить, рассмотрев несколько частных стационарных решений.

Сначала предположим, что источники электронов однородно заполняют все пространство, причем спектр инжектируемых электронов степенной т.е. Тогда диффузия несущественна и уравнение переноса сводится к уравнению

Предполагая, что при получим, выполнив интегрирование,

Выпишем теперь выражение для в условиях межзвездной среды:

Эта формула позволяет выявить, как постоянные потери энергии действуют на первоначальный спектр электронов космических лучей. Таким образом,

Рис. 19.4. Решение стационарного уравнения переноса в случае, когда спектр впрыскиваемых электронов степенной, а потери энергии описываются соотношением

если преобладают ионизационные потери, то т.е. спектр становится более плоским;

если преобладают тормозные или адиабатические потери, то т.е. спектр не меняется;

если преобладают синхротронные или комптоновские потери, то т.е. спектр становится круче.

Равновесные спектры должны получаться также всякий раз, когда постоянная инжекция частиц продолжается дольше, чем тормозится отдельный электрон. Например, если непрерывно в течение времени впрыскивать электроны, а наиболее существенными являются синхротронные потери, то спектр электронов в системе будет различным для энергий, больших и меньших энергии электронов, время жизни которых равно Низкоэнергичные электроны не успевают отдать заметную долю своей энергии, поэтому их спектр совпадает с начальным, При энергиях, превышающих, время торможения меньше поэтому мы видим только те частицы, которые были впрыснуты в систему в течение времени жизни частицы Поэтому спектр получается круче: в соответствии с решением стационарного уравнения переноса.

Можно показать, что если потери имеют вид а частицы инжектируются равномерно во всем пространстве с тем же, что и ранее, спектром то по прошествии времени спектр примет вид

Этот спектр показан на рис. 19.4.

19.2.4. Интерпретация наблюдаемого спектра электронов космических лучей. Применим эти результаты к спектру электронов в Галактике. Мы наблюдаем степенной спектр с изломом вблизи Что можно сказать о распространении электронов и их начальном спектре? Вопрос заключается в том, сколько времени релятивистские электроны находятся в Галактике. Можно использовать два подхода: считать электроны молодыми,

тогда наблюдаемый спектр подобен начальному, или, наоборот, предположить, что электроны старые, а их спектр сформировался в результате действия различных механизмов торможения.

Молодые электроны космических лучей. В этом случае предполагается, что электроны впрыскиваются со спектром

Тогда отсутствие каких-либо наблюдаемых отклонений от степенной зависимости означает, что даже самые энергичные электроны не испытали заметных синхротронных потерь. Отсюда можно получить ограничение на время, в течение которого они двигались сквозь реликтовое излучение и галактическое магнитное поле.

Формулу для времени жизни ультрарелятивистского электрона при наличии как синхротронных, так и комптоновских потерь можно записать следующим образом:

Здесь магнитное поле нормировано на величину а плотность энергии излучения — на плотность энергии реликтового излучения Для минимального значения равного (см. рис. 18.8), и получим, что частицы должны находится в магнитном поле Галактики меньше, чем примерно лет. Это очень сильное ограничение.

Чтобы понять, насколько эта модель реальна, необходимо выяснить, может ли она объяснить излом в спектре электронов вблизи В соответствии с предыдущим анализом, одна возможность состоит в том, что уплощение спектра ниже возникло в результате действия ионизационных потерь. Чтобы этот процесс привел к заметным искажениям спектра, необходимо время порядка лет (см. п. 19.1.1). Таким образом, электроны должны были бы двигаться в среде с концентрацией примерно что существенно выше плотности межзвездной среды. Другая сложность состоит в том, что электроны должны пройти толщу вещества но, как будет показано в п. 20.2.2, протоны и ядра такой же жесткости не могут пройти через такое количество вещества. Таким образом, если верна модель молодых космических лучей, то излом в спектре не мог возникнуть вследствие потерь энергии при движении в межзвездной среде, а должен был существовать изначально.

Старые электроны космических лучей. Можно предположить, что синхротронные и комптоновские процессы столь существенны, что излом, показанный на рис. 19.4, приходится на энергию (рис. 18.8). В этом случае, принимая получим лет. Если учесть оптическое излучение Галактики, плотность энергии которого равна — то окажется меньше, около лет, т.е. электроны космических лучей должны быть старыми. Тогда спектр инжектируемых электронов должен иметь вид

Рис. 19.5. (см. скан) Спектр радиоизлучения электронов в центре сферического распределения источников, рассчитанный по результатам решения диффузионного уравнения переноса. Сравнение с наблюдаемым радиоизлучением Галактики показывает, что резкого излома в простой диффузионной модели получить нельзя [17].

отличающийся от спектра протонов той же жесткости.

Хотя предположение о том, что спектральные индексы у инжектируемых электронов и протонов различны, не очень привлекательно, отбрасывать его только из этих соображений нельзя. В рассматриваемом случае электроны должны находиться в диске примерно 108 лет, поэтому они могли пройти через очень большую толщу вещества. При концентрации частиц в среде набирается порядка опять большое число, поэтому ионизационные потери привели бы к образованию излома вблизи энергии Если протоны проходят через такую же толщу вещества, мы опять сталкиваемся с серьезными противоречиями.

Вебстер решил диффузионное уравнение переноса для источников, распределенных по Галактике, и обнаружил, что если бы причиной излома в радиоспектре были потери на синхротронное излучение или обратное комптоновское рассеяние, то излом был бы шире, чем допускают радионаблюдения (рис. 19.5).

Эти аргументы свидетельствуют в пользу модели молодых электронов. Заметим, что удовлетворительное объяснение излома в спектре электронов вблизи отсутствует. Никакого убедительного объяснения этого факта модели распространения космических лучей дать не могут. По-видимому, излом следует приписать исходному спектру инжектируемых частиц. Это накладывает, серьезные ограничения на возможные механизмы ускорения.

Проведенное обсуждение весьма характерно для астрофизики. Здесь всегда существует широкий спектр возможностей и задача состоит в том, чтобы отобрать существенные данные, основываясь на которых можно исключить конкретные модели.