2.2. ИОНИЗАЦИОННЫЕ ПОТЕРИ — НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ

Рассмотрим сначала случай столкновения протонов и ядер космических лучей с покоящимися электронами. В общем случае частицы космических лучей передают электронам очень малую долю своей кинетической энергии. Рассмотрим лобовое столкновение частицы космических лучей массой с электроном массой те (рис. 2.1). Если считать их твердыми шарами, то максимальная скорость, приобретенная электроном, не может превышать в случае идеально упругого соударения. Убедитесь в том, что при нерелятивистском столкновении максимальная скорость равна Поскольку это выражение приблизительно равно

Следовательно, частица космических лучей теряет энергии меньше, чем а относительная потеря кинетической энергии

Рис. 2.1.

составляет менее Таким образом, за исключением электрон-электронных столкновений, относительные потери энергии очень малы. Это означает, что в реальных столкновениях, когда взаимодействие происходит при посредстве электростатических полей частиц, налетающие частицы космических лучей практически не меняют направление движения. Электрон получает небольшой импульс в результате электростатического притяжения частицей или отталкивания. Приведем теперь первое решение — нерелятивистское, приняв, однако, что космическая частица движется достаточно быстро для того, чтобы электрон за время взаимодействия не успевал изменить свое положение на орбите. Приведенный ниже метод расчетов будет неоднократно повторяться на протяжении курса.

Динамику взаимодействия иллюстрирует рис. 2.2. Заряд космической частицы равен и предполагается, что он не меняется в процессе взаимодействия; прицельный параметр столкновения. Тогда полный импульс, передаваемый электрону за время взаимодействия, равен Из соображений симметрии вклады сил, параллельных вектору скорости космической частицы, сокращаются, поэтому нужно учитывать лишь составляющую силы, перпендикулярную направлению пролета:

Выражая переменные через и принимая имеем

Рис. 2.2.

Рис. 2.3.

Следовательно, импульс

Отсюда кинетическая энергия, переданная электрону, равна

Энергетические потери частицы космических лучей

Теперь выразим эту величину через средние потери энергии на единицу длины. Для этого необходимо найти число соударений с прицельными параметрами от до и проинтегрировать по (рис. 2.3). Поэтому полные потери энергии космической частицы в веществе на пути равны

где число электронов в единице объема, или концентрация электронов. Теперь тщательно проверим правильность выбора пределов интегрирования. Возьмем сначала интеграл (2.2)

Чем ближе частицы подходят друг к другу во время столкновения, тем больше импульс Однако чем больше расстояние, тем больше электронов Этим и объясняется логарифмическая зависимость полных энергетических потерь. Мы будем постоянно встречаться с такими явлениями в плазме, когда эффект, пропорциональный дает в конечном счете логарифмический член. Можно спросить: «Зачем вводить пределы вместо того, чтобы найти точный ответ?» Дело в том, что точное решение гораздо сложнее и для нахождений его пришлось бы учитывать ускорение электрона под действием космической частицы, а также квантовомеханические эффекты, возникающие в процессе взаимодействия. Риближенный метод дает достаточно хороший ответ, поскольку пределы

только в логарифмы и, следовательно, нет нужды энать их очень точно. Рассмотрим верхний и нижний пределы по отдельности.

Верхний предел Верхний предел прицельного параметра определяется длительностью столкновения того же порядка, что и период обращения электрона по своей орбите. В этом случае взаимодействие не носит более характера короткого импульса. Если длительность столкновения много больше орбитального периода, то электрон оказывается как бы в слегка возмущённом поле, или в рамках динамики частиц, которую мы рассмотрим ниже, он будет «сохранять свое движение» во время действия возмущения и ионизация не будет иметь места. Что понимается под длительностью столкновения? Полную энергию, переданную при столкновении, можно представить следующим образом. Пусть длительность столкновения равна Используем силу, действующую на расстоянии максимального сближения частицы и электрона, тогда

Поэтому

Такой же результат был получен выше. Значит, «длительность» столкновения равна Если длительность столкновения равна периоду обращения электрона в атоме, то можно получить оценку по порядку величины для Ьтах. Заметим, что коэффициент 2 не играет роли, поскольку и войдут в логарифм. Следовательно, хорошим приближением для Ьтах является

где частота обращения электрона на орбите. С учетом получим

Нижний предел Здесь имеются две возможности:

1. В классической физике минимальное сближение соответствует прицельному параметру, при котором потенциальная энергия электростатического взаимодействия космической частицы и электрона равна максимальному значению энергии, которое может быть передано электрону, т.е. в соответствии с проделанным выше расчетом Таким образом,

Если в ходе взаимодействия передается такое количество энергии, то электрон при столкновении отклоняется на расстояние, сравнимое с следовательно, предположения, на которых основан расчет, не

справедливы Чтобы это продемонстрировать, заметим, что средняя скорость частицы равна Поэтому расстояние, проходимое за время соударения есть и имеет тот же порядок величины, что и

2. Второе возможное значение следует из применения квантовой механики для описания близких столкновений. Максимальная скорость, которую может приобрести электрон, равна значит, Поэтому имеется неопределенность положения электрона А, которая в соответствии с принципом Гейзенберга равна т.е.

Если это подходящее значение значит, при расчетах следует учитывать квантовую механику. Во всяком случае, полученное выражение показывает, каков разумный предел используемого при интегрировании.

В каждом частном случае следует определить, какое из значений больше, т.е. выбор зависит от отношения

где постоянная тонкой структуры. Итак, если для частицы то следует учитывать квантовомеханические поправки. Это ограничение будет использоваться в последующем изложении. Заметим, что такой же расчет применим для ионизационных потерь в горячем газе, например, полностью ионизованной водородной плазме. В этом случае типичные скорости частиц также много меньше поэтому классический предел здесь вполне применим.

Подставляя полученные значения пределов в уравнение (2.3), получим в нерелятивистском приближении скорость потерь на единицу длины для энергичных космических лучей

Если обратиться к модели атома Бора, то

есть энергия самого нижнего связанного состояния атома, и мы можем написать

где потенциал ионизации атома. На практике должно быть некоторым хорошо вычисленным взвешенным средним по всем состояниям атома, т.е. следует писать , а не Значение учитывает тот факт, что электроны в атомах находятся на различных энергетических уровнях, с которых они могут быть выбиты космическими лучами. Даже в самых сложных расчетах невозможно определить точное значение и его приходится находить экспериментально. Обычно пишут

где максимальная кинетическая энергия, которая может быть передана электрону. Поэтому можно переписать логарифмический член в виде .

В качестве упражнения покажите самостоятельно, что спектр выбитых электронов — степенной:

Интегрирование по всем энергиям от до даст такой же логарифмический член, как выведенный выше.

Итак, ионизационные потери не зависят от массы космической частицы Измерение энергетических потерь на единицу длины, дает информацию Мы также извлекаем информацию из энергетического спектра выбитых электронов [см. уравнение (2.11)]. Наконец, потери пропорциональны а отсюда немедленно следует, что ионизационными потерями при электростатических взаимодействиях с протонами и ядрами можно пренебречь.