24.4. МЕХАНИЗМ ФЕРМИ. ВАРИАНТ ВТОРОЙ — УСКОРЕНИЕ ЧАСТИЦ В СИЛЬНЫХ УДАРНЫХ ВОЛНАХ

Сущность механизма Ферми можно изложить, пожалуй, еще проще, если ввести вероятность того, что частица останется в области ускорения после одного рассеяния, и величину характеризующую среднее увеличение энергии частицы за одно рассеяние Тогда после к столкновений останется частиц с энергией Исключая к, получим

и, следовательно,

Здесь используется величина поскольку некоторая часть частиц, набравших энергию приобретает еще большие энергии. Поэтому

Ясно, что здесь мы тоже придем к степенному закону. Чтобы доказать эквивалентность обоих подходов, учтем, что связано с а из определения и уравнения (24.4) следует соотношение где относительное увеличение энергии за одно столкновение.

В описанном в разд. 24.3 варианте механизма Ферми а пропорционально вследствие тормозящего действия соударений вдогонку. Поэтому оригинальный вариант теории Ферми называется ускорением Ферми второго порядка. Очевидно, это очень медленный процесс. Было бы гораздо лучше, если бы существовали только лобовые столкновения. Из выражения (24.1) ясно, что в этом случае относительное изменение энергии имеет первый порядок по Соответственно это будет ускорение Ферми первого порядка.

Недавно Белл [2] и независимо Блендфорд и Острайкер [3] предложили очень привлекательную идею ускорения Ферми первого порядка в сильных ударных волнах. Мы будем следовать версии Белла, поскольку она позволяет лучше понять физическую суть явления по сравнению с более формальным подходом Бленфорда и Острайкера.

В основе механизма лежит представление о сильной ударной волне, распространяющейся в межзвездной среде, где уже имеется некоторое количество частиц высоких энергий. Поскольку волна сильная, возмущение распространяется в межзвездном газе со скоростью, значительно превышающей скорость звука, . Это, безусловно, справедливо для взрыва

новой, когда вещество выбрасывается со скоростью до тогда как альвеновская и звуковая скорости в межзвездном газе не превышают Для сильной ударной волны увеличение плотности прошедшего через фронт газа выражается очень простой формулой

где индексы 1 и 2 относятся к газу соответственно впереди и за фронтом, 7 — отношение удельных теплоемкостей (см., например, [6]). В полностью ионизованном газе следовательно,

Теперь посмотрим, что происходит с газом космических лучей вблизи фронта ударной волны. Перед ним частицы распределены изотропно благодаря рассеянию на альвеновских и магнитозвуковых волнах (см. разд. 21.4). Некоторые частицы проходят через фронт, там рассеиваются на неоднородностях и их распределение становится изотропным. Отметим, что при этом газ космических лучей отбирает кинетическую энергию у газа за фронтом. Некоторые частицы увлекаются потоком дальше, а некоторые возвращаются назад в невозмущенный газ. Движению частиц навстречу потоку препятствуют процессы рассеяния, которые также делают распределение космических лучей изотропным. Однако частицы, совершившие этот цикл, приобрели некоторое количество энергии в результате ускорения Ферми первого порядка. Затем они снова подхватываются потоком и цикл повторяется.

Определим для такого цикла с помощью следующих простых соображений. Оценка величины (3 проводится так же, как при выводе уравнения (21.1). В этом случае при нормальном падении относительное увеличение энергии частицы за один цикл равно

где — скачок потока на фронте ударной волны. Здесь предполагается, что частицы движутся со скоростью света. При более строгом расчете нужно провести усреднение по углам падения для частиц, движущихся вдоль потока и навстречу ему. Тогда получается соотношение

откуда

Чтобы оценить воспользуемся остроумными рассуждениями Белла. Согласно классической кинетической теории, число частиц, пересекающих за секунду площадку единичной площади, равно где с — их скорость, концентрация. Эта величина с точностью до где скорость фронта, равна числу частиц, пересекающих фронт ударной волны. С другой стороны, за фронтом частицы уносятся потоком вещества, причем их распределение в системе отсчета газа изотропно. Таким образом, в стационарном состоянии число частиц, проходящих через фронт навстречу потоку, равно

Отсюда вероятность выхода равна

Поскольку частицы практически не замечают фронт волны, с хорошей точностью можно считать, что Тогда

Найдем логарифм

поскольку

Отсюда

Теперь воспользуемся первым из соотношений для ударных волн (они называются уравнениями Ранкина — Гюгоньо), выражающим сохранение массы в пересекающем фронт потоке (все величины определены в системе покоя фронта)

Поскольку получаем Отсюда

Подставляя это выражение в (24.8), получим

Значение показателя спектра очень близко к 2,5. Приведенные соображения очень красивы: единственное условие — что ударная волна сильная. Очевидно, имеется много способов дальнейшего усложнения теории. В настоящее время этот круг вопросов интенсивно разрабатывается.

Как уже указывалось, большое достоинство этого механизма состоит в том, что он обеспечивает ускорение частиц все время, пока ударная волна остается сильной. Поэтому в остатках сверхновых ускорение продолжается до тех пор, пока они не расширятся до значительных размеров, порядка Это позволяет избежать трудностей, связанных с адиабатическими потерями, описанными в п. 19.3.5.

Основным условием действия описанного механизма является присутствие сильной ударной волны и некоторого количества релятивистских частиц. Таким образом, этот механизм, по-видимому, может реализоваться в самых различных объектах, включая ядра галактик и горячие пятна во внегалактических радиоисточниках.