13. ДИНАМИКА КОСМИЧЕСКИХ ЛУЧЕЙ В СОЛНЕЧНОМ ВЕТРЕ

13.1. ДИНАМИКА ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ

Теперь мы знаем основную конфигурацию магнитного поля, которое должны преодолеть космические лучи на пути к Земле. Они летят навстречу солнечному ветру в область усиливающегося магнитного поля. Рассмотрим динамику космических лучей, находящихся в таких магнитных полях. Это сложная задача, но мы установим лишь некоторые основные результаты, которые потребуются неоднократно в нашей дискуссии по астрофизике. Начнем с рассмотрения движения в однородном постоянном магнитном поле.

13.1.1. Однородное постоянное магнитное поле. Мы уже вывели основное уравнение, которое описывает динамику частицы с зарядом движущейся в постоянном магнитном поле [уравнение (11.2)],

Разложим на компоненты — параллельный у у и перпендикулярный магнитному полю, которое предполагается однородным (рис. 13.1). Питч-угол в траектории частицы задается соотношением это угол между векторами Поскольку у у параллельно В, то из уравнения (13.1) следует, что у у не изменяется, т.е. Единственным ускорением является

т.е. ускорение, равное по величине и перпендикулярное мгновенному вектору скорости в плоскости, перпендикулярной В. Очевидно, что это постоянное ускорение, и, следовательно, оно описывает движение по окружности. Приравнивая его центробежному ускорению, имеем

т. е.

Таким образом, движение заряженной частицы складывается из поступательного движения с постоянной скоростью и движения по окружности вокруг направления движения, т.е. траектория представляет винтовую линию с постоянным питч-углом . Угловая скорость частицы по орбите равна и называется циклотронной или гирочастотой частицы. В нерелятивистском случае она просто равна

Рис. 13.1 Динамика заряженной частицы в однородном магнитном поле.

Полезно запомнить, что гирочастота электрона равна где В измеряется в гауссах.

В этом простом случае направление магнитного поля называется ведущим центром движения частицы, т.е. это среднее направление поступательного движения частицы, вокруг которого происходит вращение. В более сложных случаях можно постараться определить ведущий центр движения, так как он дает общий дрейф частицы в магнитном поле.

Перепишем выражение для радиуса траектории частицы в следующем виде:

Это означает, что если частицы инжектируются с одинаковым значением в магнитное поле В при одном и том же питч-угле то их динамические параметры в магнитном поле будут совершенно одинаковы. Очевидно, что этот результат справедлив при любой конфигурации магнитного поля. Величина называется жесткостью или магнитной жесткостью частицы. Поскольку имеет размерность энергии (к примеру, электронвольты) и размерность заряда, размерность вольты. Полезной единицей для практических целей обычно служит гигавольт Очень часто энергия частиц космических лучей описывается в единицах их жесткости, а не энергии на нуклон.

В качестве примера рассмотрим протон и ядро углерода с Их свойства перечислены в табл. 13.1.

Таблица 13.1 (см. скан) Свойства протона и ядра углерода с

13.1.2. Переменное во времени магнитное поле. При конфигурации поля, изображенной на рис. 13.1, частица движется по винтовой траектории с радиусом витка Рассмотрим случай, когда напряженность магнитного поля В меняется очень медленно по сравнению с орби-тельным периодом частицы, т.е. за период Решим нерелятивистский случай методом, который выявит основную физику процесса. Частица, движущаяся по винтовой траектории в магнитном поле, эквивалентна контуру тока, причем ток равен площадь контура Поэтому магнитный момент контура равен

и отсюда

где кинетическая энергия частицы в направлении, перпендикулярном ведущему центру.

Сообщим малое приращение А В магнитному полю за время одного витка. Тогда приведет к возникновению в контуре, и поэтому частица на орбите ускорится. Работа, совершенная за один виток, равна

где период обращения по одному витку. Поэтому изменение кинетической энергии частицы за один виток есть

Чему равно изменение магнитного момента контура тока?

т.е. в нерелятивистском случае магнитный момент частицы на орбите инвариантен. Единственное условие применимости этого результата заключается в том, что поле должно медленно меняться. Рассмотрим другие способы выражения этого важного результата. Равенство эквивалентно тому, что

Поскольку подстановка в (13.6) дает

Этот результат объясняет явление магнитного отражения. Если частица попадает в область усиленного магнитного поля, то возрастает, а уменьшается. В конце концов достигнет нуля в точке, где (квадрату полного импульса частицы). Именно это происходит, когда захваченная в радиационйом поясе частица подходит к магнитному полю Земли, где поле сильнее.

И наконец, поскольку

Рис. 13.2. Динамика заряженной частицы в медленно меняющемся магнитном поле. Диаграмма показывает, как ведущий центр движения частицы следует среднему направлению магнитного поля. Радиус кривизны траектории такой, что магнитный поток внутри витка остается постоянным.

т.е. частица следует вдоль ведущего центра таким образом, что магнитный поток внутри орбиты частицы сохраняется (рис. 13.2). Это выражение часто называют первым адиабатическим инвариантом движения частицы в магнитном поле.

Полученные формулы более точно выводятся из принципа адиабатической инвариантности, используемого в классической динамике. Он также является лучшим способом для релятивистского обобщения этих формул. В релятивистском приближении они имеют вид

Если вы не можете вывести эти формулы самостоятельно, то прочтите следующий раздел.

13.1.3. Метод адиабатического инварианта. Этот подход требует использования лагранжева представления классической динамики. Последующий анализ заимствован из книги Джексона [2]. Джексон использует результат классической динамики, заключающийся в том, что если обобщенные канонические координаты и импульсы, то для любой координаты, если она периодична, интеграл действия постоянен для данной механической системы с заданными начальными условиями. Если свойства системы меняются медленно по сравнению с периодом осцилляций, то можно показать, что интеграл действия инвариантен. Такое изменение называется адиабатическим. Именно этот случай имеет место при исследовании динамики заряженной частицы, движущейся в магнитном поле. В частности, компоненты скорости и координаты, перпендикулярные

Рис. 13.3.

направлению магнитного поля, являются периодическими. Таким образом, интеграл действия есть

где канонический импульс частицы, перпендикулярный направлению магнитного поля, и ей — линейный элемент вдоль круговой траектории частицы. Важный результат состоит в том, что для заряженной частицы в магнитном поле канонический импульс, перпендикулярный направлению поля, равен

где трехмерный момент частицы, векторный потенциал магнитного поля, Поэтому

где вектор площади, связанный с интегралом по контуру С. Рассмотрим векторные соотношения между Если поле В перпендикулярно плоскости листа бумаги, имеет направление, указанное на рис. 13.3, то сила Лоренца для положительно заряженной частицы приводит к движению по окружности. Направление вектора противоположно В. Следовательно, второй член в уравнении (13.11) отрицательный. Поэтому

Но угловая гирочастота значит

где А — площадь, охватываемая орбитой частицы. Согласно приведенному выше правилу, для случая, когда изменение В за период движения частицы по орбите мало, т.е.

Именно этот результат и указан в уравнении (13.9), и другие его варианты немедленно следуют из соотношений

Можно рассчитать поведение частиц в более сложных случаях, например, если частицы попадут в область, где существует градиент 5, или если имеется влияние гравитационного поля. Однако должно быть ясно, что отдельные частицы привязаны к силовым линиям и требуется очень большое усилие, чтобы заставить их двигаться поперек магнитного поля. Тем, кто желает более подробно познакомиться с этим вопросом, рекомендую книгу Нортропа [3].

Результаты для отдельных частиц очень сходны с выводами для вмороженного потока. Но это разные задачи, хотя примененные при их решении методы очень похожи. Дело в том, что вмораживание потока является фундаментальным магнитогидродинамическим процессом, в котором плазма рассматривается как проводящая жидкость. Расчет для отдельных частиц является микроскопическим подходом, и, чтобы объединить эти два метода в один, надо показать, что можно выводить уравнения магнитогидродинамики из микроскопических уравнений движения. Это далеко не тривиально