12.3. ПРОВОДИМОСТЬ ПОЛНОСТЬЮ ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЫ

Причина рассмотрения этой темы в нашем курсе состоит в том, что нам предстоит построить модель магнитного поля в межпланетной среде. Для этого нужно знать электропроводность плазмы, так как диссипативные процессы рассеяния способны оказать сильное влияние на динамическое поведение магнитного поля (см. разд. 12.4).

Рис. 12.3. Схематическая диаграмма, иллюстрирующая понятие столкновения согласно а — модели Друде. б - взаимодействия посредством дальнодействующих электрических сил. в — в результате стохастического влияния большого числа далеких столкновений траектория частицы поворачивает на 90°.

Каждый хорошо знаком с электропроводностью. В средней школе это явление объясняют с помощью модели Друде, а в высших учебных заведениях — фононным рассеянием. Ни один из этих процессов не подходит в данном случае, потому что мы имеем дело с плазмой, т.е. полностью ионизованным газом, состоящим из свободных электронов и протонов. Поэтому наш случай ближе к задаче о свойствах проводимости и явлений переноса в газах, где носителями импульса, энергии и т.п. являются частицы, а перенос этих параметров осуществляется при столкновениях частиц. Этот случай идеально прост, если газ состоит из молекул, но здесь мы имеем дело с полностью ионизованным газом. Вспомните трудности, которые возникли в гл. 2, когда мы пытались определить, что подразумевается под столкновением между заряженными частицами.

В плазме столкновения осуществляются посредством дальнодействующих электростатических сил, возникающих между электронами и протонами. Динамика частицы в плазме схематически показана на рис. 12.3. Можно сформулировать тем не менее эквивалентное определение понятия столкновения, если вспомнить, что в классическом приближении столкновением считается взаимодействие, при котором частица полностью «забывает» о своем начальном направлении и начинает двигаться в новом случайном направлении.

В плазме заряженные частицы испытывают большое число слабых толчков, так же как и в случае ионизационных потерь, но результат усреднения по всем этим случайным импульсам не должен содержать результирующего поперечного импульса частицы. Статистически, как в «теории случайного блуждания», хотя среднего приращения поперечной скорости нет, среднеквадратичное значение отлично от нуля, т.е.

статистически в результате случайного рассеяния частица приобретает результирующий поперечный импульс. Если бы этот процесс был непрерывным, то никакого результирующего было бы, но, поскольку передается в виде случайных дискретных порций, Так же как при случайном блуждании, если среднеквадратичное значение поперечной скорости, приобретаемое за секунду, равно то через промежуток времени поперечный импульс будет равен

т.е. время, которое требуется частице на столкновение. К этому времени поперечная скорость будет по величине равна начальной, и поэтому можно считать, что частица забыла начальное направление движения. Этот расчет можно было бы упростить, положив, например, что протоны неподвижны, но в данном случае нас интересует динамика самих протонов, так как они несут весь импульс.

Выведем простое выражение для средней длины свободного пробега протона, имеющего скорость и взаимодействующего с протонами и электронами плазмы. Для иллюстрации положим, что протоны и электроны в плазме неподвижны. Этот анализ покажет происхождение соотношений между физическими параметрами, входящими в полную теорию.

В одиночном столкновении протон получает импульс, перпендикулярный направлению движения

[см. уравнение (2.1)]. Следовательно,

Теперь вычислим среднеквадратичное отклонение скорости частицы от ее первоначального направления. Когда средний квадрат скорости будет равен т.е. квадрату начальной скорости, частица отклонится на 90°, и можно будет считать, что столкновение произошло, т.е. Как обычно,

Поэтому

В формулу входит фактор Гаунта поэтому возникают прежние трудности. В этом случае Ьтах — дебаевский радиус для тепловой плазмы обычное значение для низкотемпературной плазмы. Поэтому

Полная теория значительно сложнее, потому что все частицы находятся в движении, и, кроме того, имеет место максвелловское распределение по скоростям. Подробные, результаты можно найти в монографии Спитцера «Физика полностью ионизованного газа» [7].

Время соударения для протона в полностью ионизованной плазме дается формулой

где размерность кельвины, — массовое число частицы. Средняя длина свободного пробега частицы равна Для солнечного ветра примем [7]. Тогда (для сравнения расстояние от Земли до Солнца, астрономическая единица, равно Итак, для протонов, которые несут весь импульс солнечного ветра, средняя длина свободного пробега для электростатических столкновений много больше, чем расстояние от Земли до Солнца, и поэтому для описания динамики частиц солнечного ветра с вмороженным магнитным полем можно рассматривать плазму без столкновений с бесконечной проводимостью.