11.2. ДИНАМИКА ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ В ДИПОЛЬНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Запишем уравнение движения частицы с массой покоя зарядом и фактором Лоренца в постоянном магнитном поле В:

Левая часть уравнения равна

В магнитном поле ускорение всегда перпендикулярно следовательно, Отсюда

Как известно любому школьнику, северный полюс магнитной стрелки указывает вдоль силовых линий на южный, так что северный полюс Земли расположен на юге. Магнитная широта определена на рис. 11.1. Итак,

где магнитный момент диполя. Общего решения этой задачи не существует, однако теория дает границы областей в пределах магнитного поля, которые доступны частицам. Поэтому можно указать разрешенные и запрещенные зоны для любой частицы, приходящей с бесконечности.

Для удобства следует измерять расстояние в штермеровских единицах. Существует одна круговая орбита в экваториальной плоскости диполя для частицы с импульсом Приравнивая центробежную и магнитную силы в радиальном направлении, получим

где расстояние от центра диполя. Поэтому уравнение (11.3) дает

Расстояние называется штермеровской единицей длины для частицы с импульсом Если расстояние выражается в штермеровских единицах, то трехмерные уравнения движения сильно упрощаются.

Далее, запишем уравнение движения в координатах (рис. 11.2) и введем угол в между мгновенным значением вектора скорости частицы и

Рис. 11.2. а — система координат, в которой исследуется динамика космических лучей в дипольном магнитном поле; б - вид системы координат сверху, показывающий, как определяется угол в.

меридиональной плоскостью, которая следует за частицей во время ее движения по орбите. Решение уравнений движения [4] дает следующее соотношение:

где измеряются в единицах Штермера, постоянная движения; при больших прицельный параметр. Если движение происходит в экваториальной плоскости, то очевидно, что это в точности прицельной параметр в обычном смысле (рис. 11.3). При другом значении геомагнитной широты — является прицельным параметром относительно оси диполя. Это позволяет, не вычисляя орбиту во всех деталях, сказать, какие существуют разрешенные комбинации и X для данного так как в может изменяться от +1 до -1. Несколько примеров таких разрешенных и запрещенных областей показаны на рис. 11.4. Поскольку измеряются в штермеровских единицах, момент частицы, выраженный через эти величины, имеет неявный вид.

Определим импульс частицы и нарисуем Землю в масштабе на этих диаграммах. Рассмотрим частицы с импульсом и со всеми возможными

Рис. 11.3. Интерпретация величины — как прицельного параметра для космического излучения, приходящего с большого расстояния.

Рис. 11.4. (см. скан) Разрешенные (в полярных координатах) области для космических лучей. В заштрихованных областях поэтому они запрещены. Значения прицельного параметра даны в штермеровских единицах. Уровень поверхности Земли показан на диаграмме для трех значений жесткости протонов: Расстояние измеряется в штермеровских единицах

значениями прицельного параметра. Для данного импульса штермеровская единица расстояния будет равна

Следовательно, радиус Земли в штермеровских единицах равен

На рис. 11.4 показана практическая ситуация при в том смысле, что при запрещенная область замыкается. Поэтому импульс, для которого штермеровская единица равна радиусу земной поверхности, играет важную роль. При импульс равен Это значение получено в единицах энергии умножением импульса частицы на с. В ультрарелятивистском пределе это будет также и полной энергией частицы.

На рис. 11.4 показана область поверхности Земли, достигаемая частицей с данным импульсом; это окружность с радиусом в одну штермеровскую единицу. Поясним значение этих диаграмм. Частицы с импульсом могут достигать поверхности Земли только при значениях прицельного параметра Для меньших образуется замкнутая полость, в которую ничего не сможет попасть.

Теперь рассмотрим частицы, импульс которых составляет четверть этого значения. Тогда штермеровская единица будет в два раза больше, и поэтому радиус Земли в штермеровских единицах будет в два раза меньше, чем в первом примере (рис. 11.4). В этом случае также существуют ограниченные области прицельного параметра, при котором частица достигает поверхности Земли. И снова должно быть и также лишь немногие частицы смогут вторгаться в атмосферу на высоких широтах (см., к примеру, случай с Казалось бы, это дает прекрасное объяснение того, почему полярные сияния наблюдаются только на определенных широтах — в авроральной зоне. В действительности, как станет ясно, когда мы обсудим взаимодействие солнечного ветра с магнитным полем Земли, причина возникновения полярного сияния в этих областях иная.

Для частиц с импульсом, равным четырехкратному начальному импульсу, радиус Земли равен двум штермеровским единицам, и, следовательно, частицы в гораздо большем диапазоне прицельного параметра достигнут Земли.