60. Криволинейные координаты.

В предыдущем номере мы определили элемент площади и рассмотрели вопрос о вычислении интеграла в случае прямолинейных прямоугольных координат и

полярных координат Рассмотрим тот же вопрос для любых координат Введем вместо прямоугольных координат х и у какие-нибудь новые переменные u и v по формулам

Рис. 39.

Если мы фиксируем значение и и будем считать v переменным, то получим семейство линий на плоскости. Точно так же, если фиксируем значение v и будем считать и переменным, то получим другое семейство линий. Линии этих двух семейств могут быть как кривыми линиями, так и прямыми (рис. 39).

Положение точки М на плоскости определяется парой чисел или, в силу (11), парой чисел (u, v). Эта пара чисел называется криволинейными координатами точки М. Решая уравнения (11) относительно х и у, получим выражение прямоугольных координат через криволинейные

В случае полярных координат а есть есть Линии постоянного и и постоянного v, о которых мы говорили выше, называются координатными линиями криволинейных координат Они образуют два семейства линий (окружности и лучи в полярных координатах).

Определим теперь элемент площади в криволинейных координатах .

Для этого рассмотрим элемент площади (рис. 39), образованный двумя парами бесконечно близких координатных линий:

Координаты вершин четырехугольника с точностью до бесконечно малых высших порядков будут [I, 68]:

Из написанных формул непосредственно вытекает, что а из этих равенств следует, что отрезки равны и одинаково направлены. То же можно сказать и об отрезках МХМ и , т. е. с точностью до малых высших порядков есть параллелограмм, и его площадь равна удвоенной площади треугольника т. е. по известной формуле аналитической геометрии

Подставляя выражения координат, получаем формулу для элемента площади в любых криволинейных координатах:

где D называется функциональным определителем от функций по переменным и :

Окончательно формула замены переменных в двукратном интеграле будет

где означает функцию от u и , в которую перейдет в результате преобразования (12). Пределы интегрирования по u и v определятся из вида области аналогично тому, как это было указано в [59] для случая полярных координат.

В формулах преобразования (11) мы рассматривали u и v как новые криволинейные координаты точек, считая самую плоскость неизменной. Мы можем, наоборот, считать u и v по-прежнему прямоугольными координатами, и тогда формулы (11) дадут нам преобразование плоскости, при котором точка, имевшая прямоугольные координаты преобразуется в точку с прямоугольными координатами . Такое преобразование деформирует область в новую область При такой точке зрения мы должны будем переписать формулу (13) так:

причем здесь — прямоугольные координаты точек области и пределы интегрирования в интеграле по (2) определяются так, как это было указано в [59]. Если положить , то получим выражение площади области в виде интеграла по (2):

Отсюда видно, между прочим, что при нашей новой точке зрения значение в какой-либо точке N области (2]) есть коэффициент изменения площади в точке N при деформации области (2) в область (о), т. е. предел отношения площади некоторой области, лежащей в и содержащей образ точки N, к площади, соответствующей области, лежащей в (2) (эта область содержит точку ), когда эта последняя область стягивается к точке N. Более подробно мы рассмотрим с этой точки зрения преобразование переменных в двойном интеграле в [80].

Примеры. 1. Рассмотрим на плоскости XOY круг с центром в начале координат и радиусом единица. Введем новые переменные по формулам перехода к полярным координатам: но будем рассматривать не как полярные координаты, а как прямолинейные прямоугольные координаты, т. е. будем считать, что точка с прямоугольными координатами преобразовалась в точку с прямоугольными же координатами При этом, очевидно, вышеупомянутый круг перейдет в прямоугольник, ограниченный прямыми причем началу координат соответствует целая сторона этого прямоугольника, а противоположные стороны прямоугольника соответствуют одному и тому же радиусу круга. Применяя для прямоугольника правило приведения двойного интеграла к двум повторным, выражаемое формулой (8), непосредственно видим, что при интегрировании в полярных координатах по вышеуказанному кругу пределы интегрирования по должны быть а по соответственно Аналогично можно объяснить и те правила определения пределов при интегрировании в полярных координатах, которые даны в [59].

В данном случае

и, как мы видели выше, .

2. В качестве другого примера второй точки зрения рассмотрим прямоугольный треугольник (а), ограниченный координатными осями и прямой . Точки, лежащие внутри (а), определяются следующими неравенствами, которым должны подчиняться их координаты

Введем новые переменные , полагая:

т. е.

или

Будем рассматривать тоже как прямолинейные прямоугольные координаты. Из последних формул следует, что неравенства (14) в новых переменных равносильны неравенствам: которые определяют квадрат имеющий вершину в начале и стороны, направленные по осям Всякой точке из (а) соответствует определенная точка из и наоборот. Для D получаем выражение

и формула (13) будет иметь вид

или, вводя пределы интегрирования согласно (7) и (8),