22. Ковариантные и контравариантные афинные векторы.

Положим что линейное преобразование (9) выражает просто переход от одной системы декартовых координатных осей к другой, т. е. что его коэффициенты суть направляющие косинусы, определяемые по таблице (3). В этом случае, как мы видели в [20], транспонированная таблица А совпадает с обратной таблицей и, следовательно, контраградиентная таблица будет совпадать с основной таблицей А, т. е.

Рассматривая неизменный по длине и направлению вектор, мы можем, конечно, утверждать, что его составляющие преобразуются по тем же самым формулам (9), что и координаты, т. е.

Таким образом, вектор вполне характеризуется тремя числами во всякой фиксированной декартовой координатной системе, и при переходе от одной декартовой системы к другой эти три числа (составляющие вектора) преобразуются по тем же формулам (36), что и координаты. Предположим теперь, что мы принимаем в расчет не только переход от одной декартовой системы к другой, но вообще всевозможные линейные преобразования координат с определителем, отличным от нуля, что соответствует, как мы выше видели, произвольному выбору трех некомпланарных векторов за основные орты. Будем, как и выше, наряду с таблицей А преобразования (36) рассматривать и контраградиентную таблицу В общем случае они будут различными, и мы имеем таким образом возможность двоякого определения вектора при любом линейном преобразовании координат. Во-первых, можно определить вектор как тройку чисел, которая преобразуется при переходе от одной системы координат к другой по тем же формулам, что и сами координаты, т. е. по формулам

Такой вектор назовем контравариантным афинным вектором, причем общее линейное преобразование (36) называется иногда афинным преобразованием. Иначе, можно определить вектор так, чтобы при всяком линейном преобразовании (36) его составляющие испытывали соответствующее контрградиентное преобразование, т. е.

Такой вектор называется ковариантным афинным вектором.

В обоих случаях, имея составляющие вектора в какой-нибудь координатной системе, мы тем самым имеем его составляющие и во всех других системах координат, получаемых из упомянутой помощи любого афинного преобразования.

Приведем примеры векторов обоего рода. Прежде всего радиус-вектор, соединяющий две определенные точки пространства, является, очевидно, контравариантным вектором, так как его составляющие в вышеуказанном смысле слова (разности координат его концов) преобразуются по тем же линейным формулам, что и сами координаты. Приведем еще пример контравариантного вектора. Положим, что координаты точки суть функции некоторого параметра и определим вектор скорости, имеющий составляющие

Дифференцируя основные формулы (36) по t, убеждаемся непосредственно в том, что вектор скорости также является контравариантным вектором.

Дадим теперь пример ковариантного вектора. Рассмотрим для этого некоторую функцию точки в пространстве и определим в любой координатной системе вектор, называемый градиентом этой функции и определяемый следующими составляющими:

Сбгласчо правилу дифференцирования сложных функций и формулам иметь:

т. е. составляющие градиента в осях выражаются через составляющие градиента в осях линейным преобразованием с таблицей и, следовательно, составляющие в осях через составляющие в осях выражаются линейным преобразованием с таблицей т. е. градиент функции есть действительно ковариантный вектор.

Нетрудно выразить формулы (37) и (38) через частные производные новых координат по старым и наоборот. Введем обозначения, несколько отличные от предыдущих, которые являются обычными в теории векторов. Будем у составляющих контравариантных векторов приписывать значок сверху, а у ковариантных снизу. В соответствии с этим у самих координат будем писать значок сверху.

Коэффициенты преобразования (36) можно представить в виде частных лроизводных следующим образом:

Элементы контраградиентной матрицы V будут:

и те же элементы имеет матрица т. е.

т. е. можно сначала перейти к обратной матрице, а потом переставить строки и столбцы.

При переходе к обратной матрице коэффициент будет и после транспонирования получим для элементов матрицы V выражения:

Пусть составляющие контравариантного вектора в координатах, в координатах . По определению имеем:

Точно так же для ковариантного вектора по определению получим:

Заметим, что мы можем пользоваться этими формулами для определения составляющих вектора не только при линейном преобразовании координат, но и в случае самого общего преобразования, когда одни координаты выражаются через другие при помощи любых, вообще нелинейных, функций.

Укажем еще на одну возможность определения ковариантного вектора причем контравариантный вектор определяется просто как такой вектор, составляющие которого преобразуются по тем же формулам, что и координаты. Итак, пусть мы имеем некоторый контравариантный вектор и ковариантный вектор .

Составим сумму произведений:

Нетрудно видеть, что она остается неизменной, или, как говорят, есть скаляр, если изменяются по соответствующим им формулам (41) и (42).

Действительно, будем иметь непосредственно в силу правила дифференцирования сложных функций

Таким образом, определив контравариантный вектор указанным выше способом, мы можем определить закон изменения составляющих ковариантного вектора из требования, чтобы выражение (43) оставалось неизменным. Применяя буквально те же вычисления, которыми мы пользовались в предыдущем номере, мы придем к тому, что при инвариантности выражения (43) составляющие должны испытывать линейное преобразование, контраградиентное тому, которое испытывают составляющие Предоставляем читателю показать, что при любом преобразовании координат (не только линейном) вектор скорости является контравариантным вектором и градиент функции — ковариантным вектором.

В заключение сделаем одно замечание по поводу разницы между контравариантными и ковариантными векторами, которые были определены выше чисто формальным образом — формулами перехода от одной системы к другой. Пусть некоторый вектор, заданный своей длиной и направлением.

Имея орты, мы образуем составляющие вектора по формуле (28). Назовем эти составляющие сейчас контравариантными составляющими и напишем формулу (28) в виде:

Назовем ковариантной составляющей вектора на орт величину прямоугольной проекции на умноженную на длину и аналогично для двух других ортов. Таким образом имеем для каждой системы ортов три ковариантные составляющие Можно показать, что они преобразуются при переходе от одних ортов к другим как составляющие ковариантного вектора. Действительно, можно показать, на чем мы не останавливаемся, что в данном случае выражение будет давать квадрат длины вектора и таким образом будет оставаться неизменным при преобразовании ортов.