Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Глава 3. Конвекция и вызываемые ею явления в звездах§ 3.1. Устойчивость равновесия газа в присутствии внешнего поляПри наличии внешнего поля на возможные состояния системы накладываются дополнительные ограничения, и условия устойчивости равновесных состояний зависят от наложенных связей. Простым примером такой связи является внешнее гравитационное поле с постоянным в пространстве ускорением силы тяжести
При выборе системы координат так, чтобы направление оси
Если плоскость
Жидкость с такой зависимостью При исследовании равновесного состояния газа в гравитационном поле следует учитывать его сжимаемость. Плотность газа, а значит, и его давление зависят от температуры, распределение которой должно быть известно. При условии теплового равновесия газа, т. е. его однородности по температуре, механическое равновесие имеет место при выполнении равенства
где
Зависимость В тех случаях, когда температура среды в различных точках плоскости Рассмотрим газ, находящийся в однородном гравитационном поле
где элемента. Аналогично становилось бы со временем больше и смещение
то изменение давления в элементе связано с изменением температуры следующим образом:
Смещающийся вверх элемент охлаждается, его плотность возрастает — он "тяжелеет", и соответственно действующая на него сила плавучести уменьшается. Если скорость адиабатического охлаждения меньше, чем скорость падения температуры в окружающей среде с приближением к поверхности, что выражается неравенством
то начальные возмущения продолжают увеличиваться под действием силы плавучести. Неустойчивость такого вида называют конвективной. Критерий наступления неустойчивости (7.3) был установлен К.Шварцшильдом (1906 г.). При выполнении неравенства, противоположного (7,3), газ находится в состоянии механического равновесия. Величина
называется сверхадиабатическим градиентом. Если
и критерий (7.3) принимает форму
При использовании уравнения состояния идеального газа неравенство (8.3) может быть записано в виде
В конвективно неустойчивой жидкости происходят движения, обусловливающие перераспределение температуры по объему жидкости. На этих движениях сказывается действие вязкости, препятствующей перемещениям элементов. Кроме того, расширение (или сжатие) элементов может отличаться от адиабатического — в процессе их движения происходит обмен тепловой энергией между элементами и окружающей средой. Указанные факторы самым существенным образом влияют на процесс развития конвективной неустойчивости, который будет рассмотрен в следующих разделах. Выше для получения критерия устойчивости был использован метод, основанный на сравнении эффективности двух факторов, действующих на возмущенный элемент — силы плавучести и силы тяжести. Аналогичным методом исследуется устойчивость стационарного движения жидкости в пространстве между двумя вращающимися коаксиальными цилиндрами (течение Куэтта). В этом случае элементы жидкости движутся по круговой траектории, на которой действие центробежной силы уравновешивается градиентом давления. Если сместить данный элемент с его траектории, то равновесие нарушается и поведение элемента определяется возможностью восстановления баланса указанных сил. Течение Куэтта создается вращением двух бесконечных цилиндров — внутреннего с радиусом
Уравнение Навье-Стокса при учете (9.3) приводится к следующим двум уравнениям:
Общее решение уравнения (11.3) имеет вид
Скорость жидкости на твердой поверхности совпадает со скоростью этой поверхности. Поэтому
При таких граничных условиях выражение для
В стационарном состоянии центробежная сила, действующая на находящийся на расстоянии
При
Учитывая, что
Из (14.3) следует, что при противоположных направлениях вращения цилиндров течение неустойчиво, так как
Следует иметь в виду, что при решении задачи об устойчивости не учитывалось влияние вязкости, поскольку в системе (10.3)-(11.3) коэффициент В следующем параграфе будет произведен анализ конвективной неустойчивости и устойчивости течения Куэтта в линейном приближении.
|
1 |
Оглавление
|