Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 1.3. Переход к хаотическому режиму в нелинейных системах; странные аттракторыЭволюция физических систем, как правило, описывается нелинейными дифференциальными уравнениями. Эти уравнения содержат параметры, от значений которых может зависеть характер решений, а значит, и определяемый ими ход эволюции системы. В качестве примера приведем гидродинамическую систему. Движение вязкой жидкости описывается уравнениями Навье-Стокса, содержащими безразмерный параметр Бифуркацией в общем случае называется изменение числа решений задачи — возникновение новых (дополнительных) решений при определенном значении управляющего параметра. Соответственно появляется иной, в частности по отношению к устойчивости, возможный режим поведения системы. Систему уравнений, определяющих эволюцию диссипативной системы, записываем в векторной форме аналогично (10.1), но с включением управляющего параметра А:
Вектор
Рис. 7. Бифуркационная диаграмма для переменной X в зависимости от параметра А. В состоянии системы происходят флюктуации, которые вблизи точки бифуркации непредсказуемым образом влияют на выбор системой дальнейшего пути по той или иной ветви. Если система выбирает какую-то ветвь, то при дальнейшем возрастании А на ней возможна следующая бифуркация, и таким образом может возникнуть каскад бифуркаций. Первая бифуркация возникает на термодинамической ветви. Далее при последовательных бифуркациях на каждой из ветвей возможно возникновение как устойчивых, так и неустойчивых ветвей. Эволюция системы описывается, как уже отмечалось выше, фазовой траекторией, которая зависит от положения точки начальный момент. Неустойчивость системы в точке Изменение со временем расстояния между траекториями описывают экспоненциальной функцией где
где величина
Расходятся со временем не только траектории, но и соседние точки на одной и той же траектории — за исключением той из них, по которой эволюционирует система. Число показателей Ляпунова равно размерности фазового пространства. Для направления, которое соответствует движению системы, этот показатель равен нулю. Режим, при котором расстояние между двумя любыми сколь угодно близкими точками (не лежащими на траектории, по которой происходит эволюция) экспоненциально возрастает, называется хаотическим. Поскольку объем области фазового пространства ограничен, все траектории при
Рис. 8. Седловая траектория и близкие к ней. Разбегание траекторий сколь угодно далеко невозможно вследствие ограниченности размеров области фазового пространства, в которой допустима эволюция системы. Поэтому траектории со временем изгибаются, и общая картина их оказывается сильно запутанной. Продолжительность времени, в течение которого поведение системы при заданных начальных условиях полностью предсказуемо, очень мала. По истечении времени порядка Структура странного аттрактора является очень сложной. Происхождение усложнений можно проиллюстрировать следующим образом. Пусть в переходном режиме существует пучок траекторий в элементом площадки происходит то же самое. Складчатость приводит к тому, что площадка разбивается на систему слоев (полос), разделенных пустотами. Слои растягиваются и снова складываются. При
Рис. 9. Изображение траекторий на примере одного из странных аттракторов в пространстве трех измерений. На двухмерной поверхности (например, при намотке фазовой траектории на поверхность тора в трехмерном пространстве) странного аттрактора быть не может, так как нельзя избежать точек, в которых траектория пересекается сама с собой. Следовательно, появление странного аттрактора возможно не ранее чем на третьей бифуркации после разрушения двухчастотного квазипериодического режима и возникновения трехчастотного движения, фазовая траектория для которого будет располагаться на трехмерной поверхности тора в четырехмерном пространстве. Важной особенностью структуры странного аттрактора является самоподобие. Это означает, что любая сколь угодно малая его часть по своему строению подобна целому. Кроме того, в фазовом пространстве системы, имеющем В заключение этого параграфа заметим, что хаос, возникающий в результате эволюции неравновесных диссипативных систем (и называемый диссипативным хаосом), в принципиальном отношении не отличается от хаоса в динамических системах. В обоих случаях имеет место разбегание фазовых траекторий и вытекающая из этого непредсказуемость поведения системы.
|
1 |
Оглавление
|