Глава 2. Турбулентность и ее проявления в астрофизических объектах

§ 2.1. Потеря устойчивости течением жидкости и переход к турбулентному режиму

В этом и следующем параграфах рассматриваются, главным образом, процессы, приводящие к возникновению турбулентности в несжимаемой жидкости. Хотя в астрофизических исследованиях обычно приходится иметь дело с течениями газа, выводы, относящиеся к неустойчивости жидкости, во многих случаях могут быть использованы и для газовой среды, поскольку сжимаемость газа не сказывается существенно на дозвуковых течениях. Что же касается сверхзвуковых течений, то решение проблем, связанных с их устойчивостью, гораздо сложнее. В таких течениях возникают разрывы, прежде всего ударные волны, сильно влияющие на состояние газа. Вопросы, связанные со сверхзвуковой турбулентностью, пока остаются далекими от полного их решения.

Движение вязкой несжимаемой жидкости при отсутствии внешних полей описывается системой уравнений Навье-Стокса с добавлением условия несжимаемости:

Здесь оператор Гамильтона, -скорость течения, р — плотность, давление и кинематическая вязкость. Величины характеризуют свойства жидкости. Внешние условия определяют пространственный масштаб течения I и характерную скорость — например, Уравнения (1.2) и (2.2) можно записать в безразмерной форме. При этом в уравнении движения будет содержаться всего один параметр — число Рейнольдса

являющийся безразмерным, так как единицами величин являются

Свойства течения, определяемые решением системы, т. е. величины зависят от величины Это подтверждается многочисленными экспериментами. Моделирование течений при различных значениях показало, что при движение спокойное, макроскопически детерминированное, обладающее одной степенью свободы (его называют ламинарным). Что же касается течения при то оно является, как уже отмечалось в § 1.3, хаотическим.

Физический смысл параметра заключается в том, что он выражает относительную роль двух факторов — вязкости, стремящейся выравнивать различие скорости в близких объемах жидкости, и инерции, содействующей сохранению скорости движения элемента. При достаточно малых значениях вязкость преобладает, препятствуя развитию малых возмущений скорости жидкости. С возрастанием скорости движения сглаживающая роль вязкости снижается.

Устойчивость стационарного движения жидкости по отношению к бесконечно малым возмущениям исследуется на основе линеаризованного уравнения, получающегося из (1.2). На движение, в котором распределение скорости дано функцией налагается возмущение т.е. движение происходит со скоростью

Величина удовлетворяет уравнению (1.2). Поэтому, пренебрегая членами второго порядка малости по получаем уравнения

Общее решение этих линейных уравнений находится как сумма членов вида Если среди частот нет ни одной с положительной мнимой частью, то возмущение со временем

стремится к нулю, т. е. течение устойчиво. Так как оно при устойчиво, а для неустойчиво, то должно существовать такое значение что при устойчивость нарушается. Величина. зависит от внешних обстоятельств, при которых происходит течение, например от наличия тел, препятствующих движению жидкости и обтекаемых ею. Неустойчивость означает возрастание возмущения со временем. Следовательно, среди частот при имеется такая:

причем вещественно, а Можно полагать, что при достаточно малой разности выполняется неравенство поскольку при появлению одной частоты предшествует значение а для остальных частот Тогда соответствующая величина имеет вид

Так как множитель быстро возрастает со временем, то предположение о малости через некоторое время нарушается и непосредственное использование (4.2) становится неоправданным. Однако в течение короткого времени движение жидкости, а значит, и изменение можно считать периодическим с периодом

Амплитуда такого периодического движения — вещественная часть комплексной величины

которая при возрастании стремится к некоторому конечному пределу. Это следует из усреднения по промежутку времени где

разложения величины по с точностью до членов четвертого порядка включительно. После усреднения нечетные члены, содержащие периодический множитель, не будут входить в разложение, которое принимает вид

В силу (5.2) можно считать и при из (6.2) следует, что с возрастанием величина где

При достаточно малом значении разности зависимость от этой величины приближенно представляется в виде

а для получается соотношение

Исследование изменения при приводит к выводу, что при возмущение скачкообразно возрастает. В интервале движение устойчиво по отношению к бесконечно малым возмущениям, но неустойчиво по отношению к возмущениям конечной амплитуды (рис. 15, б).

Рис. 15. Зависимость от

Таким образом, при наложении малого возмущения на возникает "квазиустойчивое" (на временах квазипериодическое движение с частотой При возрастании оно остается устойчивым лишь до некоторого значения . Из

уравнений (аналогичных) (3.2) с заменой на на следует появление еще одного периода, равного После бифуркации в точке Для малых значений если иррациональное число, имеет место квазипериодическое движение, описываемое как намотка незамкнутой траектории на двухмерный тор (см. § 1.3). Если частоты и соизмеримы, то движение периодическое, но приводящее к резонансным явлениям.

В результате последующих бифуркаций в потоке жидкости может возникнуть хаотическое состояние. Как один из возможных путей перехода ламинарного течения в турбулентное предполагается рассмотренный выше процесс удвоения периода для одномерного отображения Пуанкаре.

В качестве одномерного отображения Пуанкаре, описывающего процесс последовательного удвоения периода при возрастании числа Рейнольдса, удобно использовать следующее:

Отображение (7.2) имеет неподвижную точку при и в этом соотношении правая часть представляет, по существу, разложение в окрестности указанной точки.

Когда то

и точка устойчива. Если же то

и точка является неустойчивой. Следовательно, при происходит бифуркация.

Если считать, что и достаточно малы, то для второй итерации получается выражение:

Точка при является неподвижной для (8.2) и устойчивой, но для она оказывается неустойчивой. Вместе с тем в момент бифуркации появляются две устойчивые неподвижные точки, симметричные относительно точки

Эти точки соответствуют движению с удвоенным периодом, названному прежде (§ 1.4) -циклом. Отображение (7.2) переводит каждую из указанных точек в другую, а (8.2) оставляет эти точки на своем месте. Цикл с единичным периодом при бифуркации не исчез, но стал неустойчивым. Повторение бифуркаций при возрастании значений образующих сходящуюся к последовательность

в пределе приводит к появлению странного аттрактора.

Эксперименты пока не дают данных для вывода о том, что описанный возможный путь возникновения турбулентности является единственным. Указывались и другие способы перехода ламинарного движения жидкости в турбулентное. Один из них — "переход через перемежаемость" — описан в книге [14].

Неустойчивость движения жидкости приводит к турбулизации потока, если в нем возникают большие градиенты скорости. Это может произойти при обтекании жидкостью твердого тела, так как скорость частиц, прилегающих к его поверхности, равна нулю. Вопрос же о том, всегда ли неустойчивость ведет к турбулизации, пока остается открытым — по крайней мере, для газа, находящегося в астрофизических условиях, где скорости движения часто сверхзвуковые. Число Рейнольдса в течениях, наблюдающихся в астрофизике, очень велико не только вследствие малой вязкости, но и благодаря большим пространственным масштабам системы.