Глава 4. Тепловая неустойчивость

§ 4.1. Локальный критерий тепловой неустойчивости

Большой интерес для астрофизики представляет тепловая неустойчивость. Она является одним из главных факторов, обусловливающих структуризацию межзвездной среды в галактиках и межгалактического газа. В этом разделе методом малых возмущений находится критерий тепловой неустойчивости для однородной среды [24]. Он использован для объяснения того, как могла возникнуть неоднородность структуры межзвездной среды в Галактике.

Рассмотрим однородную по плотности и температуре газовую среду, находящуюся в начальный момент в состоянии теплового равновесия при следующих значениях плотности и температуры: Самогравитация в среде не учитывается, и она предполагается покоящейся, т. е. в ней при Очевидно, что давление во всей среде должно быть одинаковым и равным где

При тепловом равновесии должно выполняться условие

Здесь через обозначено количество энергии, поступающей в объем единичной массы за единицу времени, а -количество теряемой этим объемом энергии. Так как нагретый газ теряет энергию путем излучения, то, предполагая стационарность состояния, нужно допустить существование источников энергии, нагревающих газ. Если же источники "выключены", то состояние является нестационарным — газ охлаждается. В этом случае говорят о высвечивании среды, а функцию называют "функцией высвечивания" (в англоязычной литературе используется название "cooling function"). Потери энергии объемом, как и поступление в него энергии, могут также обусловливаться теплопроводностью среды. В функции высвечивания учитываются только потери путем излучения.

Механизмом перехода тепловой энергии газа в излучение служат столкновения между составляющими его частицами. В результате столкновений происходит возбуждение или ионизация атомов и молекул, составляющих газ, а при переходе этих частиц в нормальное состояние энергия излучается. Эффективность указанного механизма зависит от плотности и температуры. Чем выше плотность среды, предполагаемой оптически тонкой для выходящего из нее излучения, тем чаще в ней происходят столкновения, и тем интенсивнее ее излучение, а поэтому сильнее охлаждение.

Если в некотором объеме ("элементе") произошло малое возмущение (возрастание) плотности газа, то согласно сказанному значение должно увеличиться и при неизменном притоке энергии тепловое равновесие в этом объеме нарушается. Увеличение теплопотерь сопровождается уменьшением температуры. В том случае, когда возрастание плотности не компенсирует уменьшения температуры, давление в элементе оказывается меньше первоначального тогда как в окружающем газе оно равно Поэтому газ в элементе будет сжиматься внешним давлением и продолжать охлаждаться до тех пор, пока не произойдет выравнивания с внешним давлением. В этом и заключается явление тепловой неустойчивости. Условие тепловой неустойчивости идеального газа записывается в виде неравенства

Обычно предполагается, что процесс выравнивания температуры и давления происходит достаточно быстро для того, чтобы давление в элементе считать сравнявшимся с внешним.

При обратном знаке неравенства (2.4) среда является устойчивой по отношению к малым возмущениям.

Критерий тепловой неустойчивости получают обычным путем, рассматривая линеаризованную систему уравнений газодинамики, где учитывают также изменение энергии газа вследствие излучения и благодаря теплопроводности. Соответствующие члены содержатся только в уравнении энергии, которое имеет вид

где — теплопроводность. Ионизационная энергия в (3.4) не учитывается. Уравнение неразрывности и уравнение движения имеют обычный вид.

В предположении, что возмущения

и при учете (1.4) из линеаризованной системы получено следующее характеристическое уравнение [24]:

в котором

При имеет место тепловая неустойчивость. Величины представляют собой волновые числа для волн, распространяющихся со звуковой скоростью, частота которых равна скорости роста соответственно изохорических и изотермических возмущений.

В изобарическом случае условие (2.4) приводит к образованию конденсаций. При этом одновременно возмущаются но в противофазе. Отсюда, используя (4.4) и (5.4), находим соответствующую конденсационной моде величину

Теплопроводность подавляет развитие тепловой неустойчивости в малых масштабах. Условие подавления имеет вид

где k — волновое число возмущения, изотермическая скорость звука, —время свободного пробега частиц в газе. Величина означает характерное время охлаждения (инкремент):

В больших масштабах, когда

величина инкремента ограничивается конечным временем распространения возмущения, так как равенство давления в очень большой области не успевает установиться.

Представление о тепловой неустойчивости и образовании в результате такой неустойчивости конденсаций в газовой среде использовалось для того, чтобы объяснить двухфазную структуру межзвездной среды (МЗС) в Галактике. Как известно, МЗС состоит из дискретных облаков, погруженных в разреженный газ. Плотность этого газа на 2-3 порядка меньше, чем в облаках, а его температура во столько же раз больше. Соответственно МЗС находится в квазистационарном состоянии, для которого характерно приближенное равенство давления в облаках и межоблачной среде. Происхождение такой структуры связывалось с тепловой неустойчивостью в среде, первоначально более или менее однородной.

Наблюдениями, выполненными в последние годы, установлено, что структура МЗС является более сложной. Об этом подробнее будет сказано в § 5.3.

В качестве механизма нагрева газа долгое время предполагалось действие мягких космических лучей, а затем стали считать более вероятным, что в нагреве МЗС большую роль играет рентгеновское излучение.

При упрощенном рассмотрении вопроса о тепловой неустойчивости МЗС предполагается постоянство функции нагрева:

Поскольку охлаждение обусловлено возбуждением и ионизацией атомов при столкновениях, то их количество в единице объема за единицу времени можно считать приблизительно пропорциональным квадрату плотности газа МЗС. Поэтому для функции высвечивания используется выражение

При учете соотношений (6.4) и (7.4) найдем условие неустойчивости газа МЗС.

Использование известного соотношения, связывающего изменение количества тепловой энергии приходящегося на единицу массы газа, с изменением его энтропии также рассчитанной на единицу массы,

дает уравнение для изменения энтропии со временем

В пренебрежении теплопроводностью посредством выражения и уравнения состояния идеального газа уравнение (8.4) записывается в виде

В равновесном состоянии газ характеризуется значениями плотности и температуры и поэтому

При постоянном давлении возмущения плотности и температуры связаны соотношением

которое с точностью до малых величин первого порядка равносильно условию

Применяя (10.4), находим, что с той же точностью

Таким образом, используя (11.4), из уравнения (9.4) получаем уравнение, определяющее изменение со временем:

Флюктуация температуры возрастает со временем, если имеет место неравенство

которое и является условием тепловой неустойчивости. Оно показывает, что в формировании изобарической моды тепловой неустойчивости определяющую роль играет вид зависимости функции высвечивания от температуры. Вычисление этой функции производилось неоднократно. Она имеет сложный характер, и ее форма существенно зависит от химического состава среды.

Рис. 23. Зависимость функции высвечивания от содержания тяжелых элементов относительно солнечного химического состава.

На рис. 23 представлены результаты недавних расчетов зависимости величины от температуры [11]. Так как при достаточно высокой степени ионизации водорода то указанная величина пропорциональна

Условие неустойчивости (12.4), как и условие (2.4), является локальным. Оно относится к выбираемому элементу, и применение его ко всей системе допустимо только в том случае, когда она в начальный момент однородна и стационарна. Локальные критерии не дают возможности исследования устойчивости неоднородных и нестационарных систем и не позволяют оценить количественно влияние теплопроводности среды на устойчивость. Еще раз отметим, что для выполнения условия во всей системе процесс изменения в ней должен быть достаточно медленным. При быстрых изменениях в системе распространяются звуковые волны, и критерий неустойчивости принимает вид

В условиях, существующих в межзвездном газе, роль адиабатической (волновой) моды в структуризации МЗС не является существенной.

Тем же методом малых возмущений был получен критерий тепловой неустойчивости для самогравитирующей однородной среды. В уравнение движения при этом добавляется член и к системе газодинамических уравнений присоединяется уравнение Пуассона. Условие тепловой неустойчивости в этом случае имеет вид

где

Из условия (12.4) следует, что при учете самогравитации тепловая неустойчивость должна всегда иметь место для возмущений с достаточно большой длиной волны.