§ 1.5. Устойчивость термодинамических диссипативных систем

Как было показано в § 1.3, термодинамическая диссипативная система находится в равновесном состоянии, если изменение ее энтропии вследствие происходящих процессов диссипации энергии в точности компенсируется притоком энтропии извне. Рассматривая вопрос об устойчивости стационарного состояния системы, следует учитывать, что при отсутствии равновесия системы необратимые диссипативные процессы в ней протекают по-иному. Соответственно в ней должно меняться и производство энтропии Изучение необратимых явлений в системах при отсутствии равновесия составляет предмет неравновесной термодинамики. Если отклонения от термодинамического равновесия достаточно малы, то влияние неравновесности на диссипативные процессы в системе описывается линейными соотношениями между скоростями процессов и вызывающими эти процессы факторами ("силами"). В таких случаях используется выражение "линейная неравновесная термодинамика".

Как известно, в астрофизических объектах вещество обычно находится в газовой фазе. Системы, состоящие из газа, отличаются от других систем, рассматриваемых в статистической физике, способностью существенно изменять свою плотность и энергию под влиянием внешних условий. В связи с этим важное значение приобретает такая термодинамическая величина, как давление

Энергия системы изменяется на величину при поступлении в нее тепловой энергии (или оттока ее, когда и изменении объема вследствие работы силы, обусловленной давлением. Выражающее изменение равенство записывается в виде

Для изолированной системы, которая находится в состоянии термодинамического равновесия, зависимость между энергией и энтропией выражается соотношением

где термодинамическая величина, называемая температурой. В замкнутой находящейся в состоянии равновесия системе при

учете первого равенства (11.1), выражающего приток энергии в систему извне:

На основании формул для изменения энтропии получается соотношение

которое показывает, насколько различается энтропия системы в двух состояниях: одно со значениями а другое — соответствующее значениям Оба состояния предполагаются равновесными. Более общее, чем (25.1), выражение для пригодное в случае систем, содержащих различные частицы, причем для каждого сорта частиц их число в различных состояниях может быть неодинаковым, записывается в виде

Здесь -число частиц сорта соответствующие химические потенциалы. Если обозначить термодинамические величины (и возможные другие) через то соотношение (26.1) записывается в форме

При значениях соответствующих равновесному состоянию, энтропия имеет максимум и поэтому Используя (27.1), можно исследовать производство энтропии в результате необратимых процессов, в частности, теплопроводности и диффузии, в системе, находящейся в неравновесном состоянии. Эти процессы приводят к возрастанию энтропии, что может означать ее производство в системе.

Пусть состояние характеризуется неравновесными значениями термодинамических величин такими, что разности

Скорости изменения этих величин (называемые "потоками"),

зависящие от указанных разностей, также малы и при их разложении по степеням можно ограничиться членами первого порядка малости:

Величины (силы) как отмечено выше, в состоянии равновесия равны нулю. В неравновесном же состоянии при малых значениях разностей записываем, опять ограничиваясь членами первого порядка малости:

Так как

Обращая матрицу получаем выражение

При подстановке (29.1) в (28.1) имеем

При этом кинематические коэффициенты симметричны:

Скорость производства энтропии в системе

Следует иметь в виду, что из всех слагаемых, входящих в (27.1), содержит только те, которые связаны с действием необратимых процессов, происходящих внутри системы.

Симметрия коэффициентов показывает, что если на поток соответствующий необратимому процессу действует то сила таким же образом действует на . В частности, если потоки, обусловленные теплопроводностью и диффузией соответственно, то оба процесса связаны и имеют место соотношения

где -химический потенциал среды с примесью, концентрация с которой

При отсутствии потока вещества из (33.1) получается известный закон Фурье — поток тепловой энергии пропорционален градиенту температуры:

При наличии же потока вещества (малой примеси) и постоянстве температуры из (32.1) получается обычное соотношение для диффузии частиц примеси (закон Фика)

Если при этом и то происходит явление термодиффузии. Величина диффузионного потока в таком случае определяется уравнением (34.1), где вместо стоит некоторая величина которая в определенных условиях может быть и отрицательной. Подробнее об этих процессах говорится в книге [14].

Из уравнений (30.1) и (31.1) следует важная теорема о минимуме производства энтропии, выражающаяся соотношением [17]

Когда что означает стационарность, то Таким образом, в стационарном состоянии производство энтропии минимально. Система эволюционирует к стационарному состоянию, характеризуемому наименьшим производством энтропии, совместимым с внешними условиями (состояние "наименьшей диссипации").

Величина в стационарном состоянии отдается вовне, но отдача минимальна.

Для диссипативной системы аттрактором является состояние, в котором производство энтропии минимально, в то время как для изолированной термодинамической системы аттрактором служит состояние, соответствующее максимуму энтропии.

Устойчивость равновесного состояния диссипативной системы в той области, где применима неравновесная линейная термодинамика, может быть исследована на основе теоремы Ляпунова. Функционалом Ляпунова в этом случае служит производство энтропии.

В тех случаях, когда отклонения от равновесия малы, за функцию Ляпунова также можно принять величину

Энтропия является функцией от и Величина для системы, выведенной возмущением из равновесного состояния, в котором может быть записана следующим образом:

Так как представляет собой максимальное значение функции то и разность определяется значением

Вычисление производится с помощью соотношения (25.1). Рассмотрим сначала простой случай, когда Тогда при учете (23.1) получается

Так как удельная теплоемкость то . В более общем случае при но для однородной среды

Обозначив через X величину изотермической сжимаемости

из (35.1) можно получить выражение для

Так как при возрастании и постоянном значении удельный объем - должен увеличиваться, то Отсюда следует, что представляет собой отрицательно определенную квадратичную форму. Кроме того, при предположении о том, что коэффициенты формы (36 1) фиксированы, имеет место соотношение

Таким образом, действительно является функцией Ляпунова и по теореме Ляпунова из (37.1) следует, что состояние равновесия при достаточно малых возмущениях устойчиво. Флюктуации в системах, близких к состоянию равновесия, не сказываются на устойчивости этого состояния.

Если отклонения от состояния равновесия сильные, то условие остается справедливым. Однако вместо (37.1) в этом случае [3]

где — отклонения от значений в стационарном состоянии, устойчивость которого исследуется. Величину входящую в формулу (38.1), называют избытком производства энтропии. Если она не отрицательна, то является функцией Ляпунова и состояние системы устойчивое. В тех случаях, когда оказывается, что возможен переход к состояниям с меньшей энтропией, т.е. удаление от равновесия. Вдали от этого состояния — при некотором критическом расстоянии от него — термодинамическая ветвь становится неустойчивой. Тогда делается возможным специфическое поведение и образование упорядоченных структур — "самоорганизация".