Глава 5. Фрактальность в астрофизических системах

§ 5.1. Фрактальные множества

Понятие фрактала как множества вложенных в пространство точек сформировалось в математике в семидесятые годы. Вскоре выяснилось, что во многих физических явлениях возникают структуры с особенностями, характерными для фрактальных множеств. Число работ, посвященных изучению фрактальных структур, стало быстро увеличиваться и к настоящему времени их многие сотни. В последние годы эти вопросы стали также привлекать внимание астрофизиков.

Фрактальные структуры в физических и астрофизических объектах будут рассматриваться в следующих параграфах. Здесь фракталы описываются как геометрическое понятие, приводятся примеры фракталов и указываются возможности обобщения этого понятия.

Согласно определению, данному Б.Б. Мандельбротом [32], фракталом называется множество, размерность Хаусдорфа-Безиковича для которого строго больше его топологической размерности.

Топологическая размерность обусловлена размерностью пространства, в котором рассматривается данное множество, и всегда представляет собой целое число. Что же касается размерности Хаусдорфа-Безиковича , то она может быть найдена следующим образом. Пространство, содержащее множество делится на одинаковые части. В пространстве это можно сделать, выбирая в качестве элементов кубы с ребром (или сферы того же радиуса). Число элементов, необходимых для покрытия ими множества обозначим Занимаемый ими объем

Если множество представляет собой тело с определенным обычным способом объемом то для него

Однако если множество точек, образующих поверхность в пространстве то поскольку

где площадь поверхности, из (1.5) получается

т. е. "объем поверхности" равен нулю.

При условии, что для множества существует такое число что

Величина называется размерностью Хаусдорфа-Безиковича для этого множества ("клеточная" размерность). Если то множество согласно определению является фракталом. Указанное определение нетрудно распространить на фракталы в пространстве

В ряде случаев величину можно находить просто путем подсчета числа клеток необходимых для покрытия множества при различной величине Для очень малых значений

Определение величины приведенное выше, не отражает всех особенностей, встречающихся в "физических фракталах". Поэтому тем же автором было дано следующее нестрогое определение.

Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому. Это определение даже при его неполноте соответствует наблюдаемой в экспериментах и получаемой при расчетах тождественности структуры фрактала в целом и для любой его области.

Простой пример фрактального множества представляет триадная кривая Исходным для ее построения служит отрезок, длина которого принимается за единицу. Он делится на три равные части, средняя часть вынимается и вместо нее вкладывается двухзвенная ломаная, длина которой равна Таким образом, на первом шаге построения вместо линии с длиной, равной 1,

(кликните для просмотра скана)

получается четырехзвенная линия с длиной, равной Для каждого из звеньев указанная процедура повторяется (рис. 26).

В поколении длина каждого звена а количество звеньев Предел произведения при

Согласно определению фрактальная размерность триадной кривой Так как на каждом этапе построения ломаная может быть растянута в прямую, для которой то оно в пределе приводит к фрактальному множеству.

Другим примером фрактальной структуры является триадное канторовское множество. Оно образуется путем деления единичного отрезка на три равные части, вынимания средней части и повторения этой процедуры с остающимися двумя отрезками (рис. 27).

Рис. 27. Построение триадного канторовского множества.

При бесконечном повторении процесса деления на длине единичного отрезка остается бесконечное множество, для которого размерность определяется из того условия, что число отрезков а длина каждого из них . При предел произведения

Таким образом, фрактальная размерность полученного множества а топологическая (так как множество "отдельных" точек не может составить конечную длину). Следовательно, это множество представляет собой фрактал.

В приложениях теории фракталов к физическим проблемам важную роль играет представление о самоподобии фракталов. Множество называется самоподобным, если получающееся из него при изменении длин в раз множество покрывает без пересечений исходное множество Величина в этом случае называется коэффициентом подобия. В простых случаях самоподобие очевидно. Например, для любого целого можно выбрать такое, чтобы прямоугольник на плоскости покрывался подобными ему прямоугольниками. В этом случае случае прямоугольного параллелепипеда коэффициент подобия Для фрактальных множеств коэффициент подобия записывается в виде

где через обозначена так называемая "размерность подобия". Если множество самоподобно, то Самоподобные фракталы обладают свойством скейлинга означающего масштабную инвариантность и инвариантность относительно параллельного переноса.

Фракталу можно сопоставить некоторую функцию. Так, например, фрактальной кривой, рассматриваемой как геометрическое место точек с координатами может быть сопоставлена функция

Эта функция не является аналитической — она не дифференцируема и не интегрируема. Для самоподобных фракталов является однородной, т. е. удовлетворяющей скейлинговому соотношению

с соответствующим масштабным множителем.

Самоподобные фракталы представляют собой сравнительно простой вид множеств. Более сложными являются, например, самоаффинные фракталы с неодинаковыми коэффициентами подобия по различным переменным. В математике аффинным называют преобразование, переводящее точку в другую

точку с координатами причем не все коэффициенты одинаковы. Множество называется самоаффинным по отношению к вектору подобия если

Здесь каждое из подмножеств путем параллельного переноса и/или поворота приводится к совпадению со множеством получаемым из при посредстве аффинного преобразования, определяемого

В связи с различными применениями фракталов в физике и других дисциплинах было введено понятие мультифрактальности. Это означает, что множество может состоять из взаимно связанных подмножеств которые в свою очередь имеют фрактальную структуру:

Каждому из этих подмножеств соответствует свой показатель фрактальности. Они образуют множество фрактальных размерностей, характеризующее систему. Важным свойством мультифракталов является возможность различия масштабных свойств в разных областях системы. Структура системы (множества детерминирована создающим ее алгоритмом. Подробно понятие мультифрактала и свойства этих объектов описаны в книге [18].