Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 1.4. Бифуркация удвоения периодаОдним из путей перехода нелинейной системы к состоянию хаоса является последовательное удвоение периода при достижении управляющим параметром соответствующего критического значения. Этот процесс, оказавшийся в значительной степени универсальным, может объяснить, в частности, возникновение турбулентности. Здесь исследование свойств бифуркации удвоения периода производится на примере простой нелинейной функции
где А управляющий параметр. Вместо изменения непрерывной функции процесс, описываемый последовательностью итераций, называемой одномерным отображением Пуанкаре:
Значение
При любом значении А точка
Рис. 10. Функция При иллюстрируется рис. 10, является аттрактором. Итерации от любой точки Заметим, что функция Для устойчивой неподвижной точки итерационное поведение статично и может рассматриваться как периодическое с периодом 1. Условие устойчивости в неподвижной точке в аналитической форме имеет вид
а неустойчивой точка получается, если
Из условий (16.1) и (17.1) видно, что точка Обобщая (16.1), при любом А для условия устойчивости точки
а согласно условию (17.1) в случае, когда
точка неустойчива. Если Из соотношения (14.1) следует, что
Все неподвижные точки для Пусть
Для производных имеет место соотношение
Если
При Двузначность обратного отображения является следствием наличия максимума у функции Когда Неподвижная точка Поскольку имеют место соотношения
то возникает двойной цикл. В этих точках
Рис. 11. Обратное отображение точек экстремумов
Рис. 12. Неподвижные точки на кривой
в пределе стремится к последовательности
Первое удвоение периода произошло при
При
Рис. 13. Неподвижные точки и сходимость итераций к ним при
Рис. 14. Устойчивый Операция последовательного удвоения периода при
т. е. результат ее действия на Функция Действующая на функции операция имеет устойчивую неподвижную точку в пространстве функций. Сжатие масштаба при переходе от
Путем численного интегрирования было установлено, что Для отображений с бесконечным удвоением периода есть еще одно универсальное соотношение. Если
то
Величина а задает масштаб преобразования ("скейлинг"). Пусть функция
Считая Из вида уравнения (21.1) следует, что операция удвоения периода состоит в композиции функций с последующим растяжением в пространстве состояний. Отображение (14.1) соответствует одномерному пространству состояний. Усложнение аттрактора, возникающего при последовательном удвоении периода, продолжается с возрастанием Итерации и процесс бесконечного удвоения периода возможны также в
|
1 |
Оглавление
|