§ 1.4. Бифуркация удвоения периода

Одним из путей перехода нелинейной системы к состоянию хаоса является последовательное удвоение периода при достижении управляющим параметром соответствующего критического значения. Этот процесс, оказавшийся в значительной степени универсальным, может объяснить, в частности, возникновение турбулентности. Здесь исследование свойств бифуркации удвоения периода производится на примере простой нелинейной функции

где А управляющий параметр. Вместо изменения непрерывной функции рассматривается соответствующий ей дискретный

процесс, описываемый последовательностью итераций, называемой одномерным отображением Пуанкаре:

Значение называется неподвижной тонкой отображения, если выполняется условие

При любом значении А точка является неподвижной. Другая неподвижная точка определяется корнем уравнения (15.1):

Рис. 10. Функция и положение неподвижной точки.

При функция Если то при . Для значений в указанном интервале находится только одна неподвижная точка являющаяся, как нетрудно убедиться, устойчивой. Когда в интервале [0,1) расположены две различные неподвижные точки. Таким образом, значения соответствуют термодинамической ветви, а при происходит бифуркация. Полагая получаем неподвижную точку причем, как следует из (14.1), Эта точка устойчива и, как

иллюстрируется рис. 10, является аттрактором. Итерации от любой точки приводят к точке тем самым демонстрируя ее устойчивость.

Заметим, что функция имеет единственный максимум, причем в точке

Для устойчивой неподвижной точки итерационное поведение статично и может рассматриваться как периодическое с периодом 1.

Условие устойчивости в неподвижной точке в аналитической форме имеет вид

а неустойчивой точка получается, если

Из условий (16.1) и (17.1) видно, что точка является неустойчивой, а точка устойчивой.

Обобщая (16.1), при любом А для условия устойчивости точки имеем

а согласно условию (17.1) в случае, когда

точка неустойчива.

Если точка является неустойчивой. Другая точка остается устойчивой, однако по (19.1) при и она становится неустойчивой. Таким образом, значение оказывается критическим. Покажем, что при вместо устойчивого цикла с периодом 1 присутствует устойчивый цикл периодом 2, поскольку возникли две устойчивые неподвижные точки.

Из соотношения (14.1) следует, что

Все неподвижные точки для являются также неподвижными точками для Кроме того, так же как и симметрична относительно

Пусть

Для производных имеет место соотношение

Если

При абсолютная величина производной и поэтому Так как то при производная имеет экстремум (минимум). В двух симметричных относительно минимума точках отображающихся в функция имеет максимум (поскольку при величины то и Обратное отображение представлено на рис. 11. Положение точек экстремумов определено путем обратного отображения их в точку на кривой (Отображение представлено жирными линиями при противоположном направлении стрелок.).

Двузначность обратного отображения является следствием наличия максимума у функции

Когда то вместо неподвижной (при точки существуют две новые неподвижные точки на кривой (рис. 12), но они не являются неподвижными точками для

Неподвижная точка теперь не является таковой ни для ни для так как

Поскольку имеют место соотношения

то возникает двойной цикл. В этих точках т. е. они устойчивы, причем величина производной в точках одинакова. Таким путем образовался аттрактор — устойчивый цикл с периодом 2. Любая последовательность итераций

Рис. 11. Обратное отображение точек экстремумов

Рис. 12. Неподвижные точки на кривой . (В верхней части рисунка изображена "намотка" итераций на устойчивый -цикл.)

в пределе стремится к последовательности

Первое удвоение периода произошло при . С возрастанием минимум функции становится глубже, и он же превращается в неподвижную точку Правый максимум тоже превращается в неподвижную точку При дальнейшем увеличении А точка движется влево, точка — вправо (рис. 13), и при

каждая из устойчивых неподвижных точек дает удвоенный -цикл, -цикл) аналогично тому, как бифуркация при привела к -циклу (рис. 14). Произошло второе удвоение периода, и появились четыре устойчивых неподвижных точки.

При происходит третья бифуркация, и возникает -цикл. С увеличением А процесс появления новых циклов продолжается. Для функции как и для точка является точкой экстремума, но в ней имеет место максимум (рис. 14).

Рис. 13. Неподвижные точки и сходимость итераций к ним при

Рис. 14. Устойчивый -цикл. (В верхней части рисунка штриховой линией выделен квадрат, при его инверсии и растяжении соответствующий квадрату для на рис. 12.)

Операция последовательного удвоения периода при обозначается следующим образом:

т. е. результат ее действия на при заключается в появлении функции для значений лежащих в интервале

Функция входящая в (20.1), рассматривается лишь в интервале, включающем ближайшую к неподвижную точку, и ширина этого интервала уменьшается с возрастанием А. Часть образующая эту область, постепенно сжимается в малую область вблизи (рис. 14). Поведение вдали от (точки максимума) не сказывается на свойствах итерации, приводящих к удвоению периода, и поэтому при больших значениях итерации для всех гладких функций с квадратичным максимумом одинаковы.

Действующая на функции операция имеет устойчивую неподвижную точку в пространстве функций.

Сжатие масштаба при переходе от -цикла к -циклу таково, что в пределе при больших расстояние от точки до ближайшей к ней неподвижной точки при удвоении периода становится меньше приблизительно в раз:

Путем численного интегрирования было установлено, что для любой функции, испытывающей удвоение периода. Поскольку при каждом удвоении ближайшая к неподвижная точка (элемент аттрактора) перемещается с одной стороны точки на другую, то

Для отображений с бесконечным удвоением периода есть еще одно универсальное соотношение. Если — значения А, соответствующие последовательным бифуркациям удвоения периода, и

то

Величина а задает масштаб преобразования ("скейлинг"). Пусть функция определенная на промежутке [0,1), имеет квадратичный максимум, равный 1 при и симметрична относительно этой точки. Смещая координаты так, что переходит в и изменяя масштаб в а раз, получаем функциональное уравнение, определяющее а вместе с

Считая получаем, что уравнения (21.1) существует единственное гладкое решение [19], соответствующее указанному выше значению а. [19]. Приведенные значения носят название "числа Фейгенбаума".

Из вида уравнения (21.1) следует, что операция удвоения периода состоит в композиции функций с последующим растяжением в пространстве состояний. Отображение (14.1) соответствует одномерному пространству состояний.

Усложнение аттрактора, возникающего при последовательном удвоении периода, продолжается с возрастанием Он состоит из все увеличивающегося число неподвижных точек, однако остающегося даже при счетным множеством. При где поведение системы предсказуемо. Однако когда - движение непериодическое, аттрактор является странным и имеет место хаос (в определенном выше смысле).

Итерации и процесс бесконечного удвоения периода возможны также в -мерном пространстве. Соответственно уравнение (21.1) должно быть модифицировано и будет содержать композицию функций, зависящих от переменных. Отображение для диссипативного процесса является сжимающим, но по одному из направлений в пространстве сжатие более медленное, чем по другим. Процесс становится близким к одномерному, и поэтому решение уравнения (21.1) представляет неподвижную точку -мерного уравнения.