§ 4.2. Тепловая неустойчивость неравновесных систем

Локальный критерий тепловой неустойчивости, выведенный в § 4.1, имеет ограниченную область применимости. Многие из реально существующих газовых систем неоднородны и находятся в нестационарном состоянии. Для исследования тепловой устойчивости таких систем и получения соответствующего критерия в работе [12] был использован метод Ляпунова (§ 1.3). В качестве функции Ляпунова в соответствии с монографией [3] принималась величина производства энтропии, определяемая для однородной среды выражением (36.1). В [12] этот подход применялся для изучения устойчивости систем, в которых имеются объемные источники и стоки энергии. Для того чтобы можно было пользоваться термодинамическим описанием системы, она предполагается находящейся в состоянии локального термодинамического равновесия

Энтропия системы выражается следующим образом:

Величина представляет собой приток тепловой энергии через границу системы и поэтому зависит от условий на границе. В случае, когда система изолирована, Выделение энергии в системе в результате необратимых процессов учтено величиной Присутствие объемных источников энергии определяется слагаемым

Изменение энтропии выражается равенством

где энтропии через границу системы, а остальные два слагаемых обусловлены величинами

Поскольку система предполагается неоднородной, сначала вводится удельная энтропия зависящая от условий в элементарном объеме. Величину второго дифференциала можно выразить формулой, аналогичной (36.1):

При правая часть выражения (14.4) является, как и в (36.1), отрицательно определенной квадратичной формой величин и 8 Считая ее коэффициенты фиксированными при имеем равенство

где удельная внутренняя энергия, а значения принимаются при По теореме Ляпунова локальное достаточное условие устойчивости системы относительно малых флюктуаций имеет вид

Соответствующее условие для всей системы в целом получается следующим образом [12]:

где определено путем интегрирования по объему системы:

В производную по времени от входит величина производства избыточной энтропии за единицу времени в результате необратимых процессов.

Посредством выражения (15.4) исследовалась тепловая неустойчивость межзвездной среды в нестационарных условиях. Предполагается, что она состоит из идеального газа и ее температура позволяет пренебречь эффектами, связанными с ионизацией атомов. Рассматриваются однородные по температуре и плотности состояния при отсутствии крупномасштабных движений.

В данном случае изменение энергии в элементе определяется притоком ее от источников и высвечиванием. Совокупное действие этих факторов описывается функцией На изменение энергии газа влияет также и теплопроводность.

Используя выражение для потока энергии, обусловленного теплопроводностью

получаем для слагаемых, входящих в (13.4), выражения

где объем системы и поверхность, ее ограничивающая.

Рассматривая малые изобарические возмущения и учитывая (10.4), из (14.4) имеем соотношение

Для производной от по времени используется соотношение, следующее из (13.4) и (10.4):

При отсутствии возмущений температуры на границе системы (это означает, что и при учете выражения

находится величина и соответствующее (15.4) условие устойчивости

В случае малых адиабатических возмущений, когда

при отличной от нуля скорости и, что соответствует наличию конвекции, а также в работе [12] найдено условие устойчивости

Для равновесных систем и по условиям неравенств (16.4) и (17.4) получаются те же критерии неустойчивости, которые находятся методом малых возмущений, но для более общего случая — с учетом потока энергии через границу. По отношению к изобарическим возмущениям система неустойчива, если

а по отношению к адиабатическим — при условии

Длина волны изобарических неустойчивых возмущений находится в пределах

где величины, определенные выше (§ 4.1).

Внешнее гравитационное поле существенно влияет на характер тепловой неустойчивости. В этом случае стационарная среда не может быть однородной по плотности и температуре — она стратифицирована, так как тяготение должно уравновешиваться градиентом давления. Для стационарности среды необходимо одновременное выполнение условий гидростатического и теплового равновесия. Тепловая неустойчивость в слое газа, находящемся в однородном поле тяготения, приводит к возникновению конвекции. Это было показано в работе [22] следующим образом. Рассматривается движение некоторого объема газа ("пакета"), характеризующегося

значениями отличающимися от соответствующих термодинамических величин в окружающей среде, и находится условие неустойчивости этого движения. Уравнение энергии для пакета при выполнении условия

и малости разностей и имеет вид

Пакет движется в поле тяготения с ускорением под действием силы плавучести в вертикальном направлении со скоростью Уравнение его движения записывается следующим образом:

Так как имеют место соотношения

то из (20.4) при учете уравнения состояния газа и при использовании соотношений (19.4) и (21.4) выводится уравнение

Полагая в для величины имеем выражение

где

При из (23.4) получается критерий тепловой неустойчивости (18.4). Если же то монотонный рост со временем происходит при условии

совпадающем с критерием, конвективной неустойчивости (7.3). Когда и имеет место неравенство, противоположное (24.4), то происходят колебания пакета. При величина монотонно возрастает, если выполняется неравенство

Таким образом, условия конвективной неустойчивости и тепловой неустойчивости оказываются связанными между собой.

В работе [12] аналогичные выводы о характере неустойчивости газа в поле тяготения сделаны посредством найденного там же интегрального соотношения, дающего критерий тепловой неустойчивости при скорости движения Решение задачи об эволюции малых возмущений производилось в приближении Буссинеска, т. е. сжимаемость газа в уравнении неразрывности не учитывалась. Полученные термодинамическое и гидродинамическое условия неустойчивости имеют вид

Здесь -толщина слоя, и усреднение производится по горизонтальной плоскости -среднее по шкале высот

значение плотности среды, - соответствующее значение теплопроводности и - компонента скорости в направлении, перпендикулярном слою. Из соотношений (26.4) видно, что неустойчивость развивается в форме конвекции, которая связана с одновременным уменьшением избыточной энтропии в системе, следующим из неравенства (25.4).

При учете диссипативных процессов в газе критерий его тепловой неустойчивости изменяется. Вязкость, как и теплопроводность, оказывает стабилизирующее воздействие на газ, делая его более устойчивым относительно коротковолновых возмущений