§ 3.2. Конвективная неустойчивость в несжимаемой жидкости: линейное приближение

В жидкости, которую принято называть несжимаемой, при изменении температуры плотность тем не менее меняется. Это обстоятельство является причиной конвективных движений. Однако при исследовании конвекции в несжимаемой жидкости переменность плотности учитывается только при вычислении силы плавучести, а в уравнениях движения и неразрывности плотность принимают постоянной.

При нарушении механического равновесия в среде, где градиент температуры достаточно велик, возникают движения, причем скорость этих движений связана со значениями температуры в среде. В этом случае говорят о свободной конвекции в отличие от вынужденной конвекции, при которой поле скоростей не зависит от поля температур, а определяется другими факторами.

Связь между и следует из уравнений, описывающих свободную конвекцию в несжимаемой жидкости:

где температуропроводность, связанная с теплопроводностью соотношением

Размерность совпадает с размерностью вязкости

В уравнении (17.3) зависимость между и проявляется непосредственно.

Будем использовать ту же систему координат, что и в § 3.1, а также примем, что невозмущенное состояние среды описывается уравнением (2.3). Рассмотрим слой жидкости, ограниченный плоскостями Предполагается что в этом слое температура изменяется по линейному закону в зависимости от

так что на нижней границе температура наиболее высока. Величина А характеризует масштаб изменения температуры, и ее единица град

При изменении температуры в элементе жидкости с плотностью на величину его плотность вследствие теплового расширения становится равной где определяется формулой

Здесь коэффициент теплового расширения средьг.

Заметим, что для идеального газа из уравнения состояния получается величина где То — невозмущенное значение температуры.

Поскольку в равновесном состоянии жидкость считается покоящейся, то величина представляет собой возмущение скорости. Возмущение давления

Сила плавучести, определяемая по (5.3), при использовании соотношения (19.3) выражается следующим образом:

Система уравнений для получается на основании формул при учете (20.3):

Полученная система содержит параметры Кроме того, из равенства (18.3) следует, что при

Величина представляет собой возмущение стационарного распределения температуры, соответствующего состоянию механического равновесия жидкости, и поэтому также считается малой. В число параметров задачи входят А и масштаб длины, за который принимается толщина слоя Так как входят в систему в виде произведения то всего независимых параметров пять. Однако, как выясняется далее, потеря устойчивости механического

равновесия, приводящая к конвекции, зависит от значения только одной величины, представляющей собой безразмерную комбинацию всех пяти параметров.

Жидкость становится конвективно неустойчивой, когда сила плавучести не подавляется действием вязкости и теплопроводности. Условия наступления неустойчивости можно найти методом малых возмущений, линеаризуя систему и предполагая, что малые возмущения пропорциональны величине Рассматривая стационарное движение, получаем систему

Такое движение имеет место на границе устойчивости, когда меняет знак, а Путем исключения из системы (24.3) величин (что легче сделать, представив первое уравнение (24.3) в виде трех уравнений для компонент) получаем уравнение для величины в виде

Если теперь принять за единицу длины величину то уравнение (25.3) будет содержать только один параметр

где

Безразмерная величина называемая числом Рэлея, может быть представлена в виде произведения двух других безразмерных величин:

Первым множителем характеризуется отношение силы плавучести к тормозящей силе вязкости, а вторым — относительная роль

механических движений и теплопроводности в переносе тепловой энергии. Постоянство числа Рэлея отражает компенсацию противодействующих факторов в системе. Запишем в форме произведения:

В этой формуле первый безразмерный множитель называется числом Грасхофа а второй — числом Прандтля Из (28.3) видно, что величина характеризует относительную роль диссипативных эффектов в движении. Для газовых сред обычно

Устойчивость жидкости по отношению к возмущениям зависит от волнового числа возмущения , и, таким образом, а является функцией При малых значениях А величина мала и что означает устойчивость системы по отношению к малым возмущениям. С увеличением А и соответственно с возрастанием достигается значение при котором Тогда происходит смена одного устойчивого стационарного движения другим.

Для определения значения решение уравнения (26.3) ищется в следующем виде:

где Используя соотношение (29.3) вместо (26.3), имеем

Величина к определяет периодичность движения в горизонтальной плоскости. На свободных границах — поверхностях фиксированной температуры — должны выполняться условия

При синусоидальной форме возмущения

волновое число к должно удовлетворять соотношению

При каждом данном значении к минимальное число получается при Поэтому наименьшее значение при котором оказывается возможным периодическое движение в горизонтальной плоскости, должно быть равным

Минимальные значения дают и поэтому при свободных границах .

Таким образом, линейный анализ конвективной неустойчивости несжимаемой жидкости показал, что стационарная конвекция наступает при Движение является периодическим в плоскости и реализуется, как показывает эксперимент, в форме двухмерных структур ("валов"). На плоскости имеет место одномерная периодичность — система параллельных полос. Часто наблюдаемая трехмерная гексагональная "ячеистая" структура обусловлена, по-видимому, действием поверхностного натяжения в жидкости.

Конвективная неустойчивость в слое несжимаемой жидкости, находящейся в поле тяжести при различии температур на верхней и нижней границах слоя, впервые наблюдалась Бенаром (1900 г.) и теоретически исследовалась Рэлеем (1916 г.). Поэтому возникающее вследствие неустойчивости движение приобрело название — конвекция Рэлея-Бенара.

Применение линейного анализа для исследования конвекции позволило не только получить критерий конвективной неустойчивости несжимаемой жидкости, но и выяснить структуру движений, возникающих при потере устойчивости первоначально неподвижной жидкости. Эта структура, состоящая из "валов", устойчива в некотором диапазоне значений но для определения величины и изучения дальнейшей эволюции системы необходимо учитывать эффекты, обусловленные нелинейностью уравнений. Это составляет предмет обсуждения следующего параграфа.

Линейный анализ течения Куэтта также приводит к выводу о появлении (при увеличении числа Рейнольдса) устойчивых

регулярных движений. По существу происходит структуризация поля скоростей. Предполагая осевую симметрию невозмущенного течения, возмущение скорости можно представить в следующем виде:

Величина , определяющая периодичность возмущения вдоль оси может принимать любые значения, но должно быть целым положительным числом, так как в противном случае нарушается однозначность величины скорости по переменной

Из линеаризованной системы уравнений газодинамики при условии равенства скорости движения жидкости на поверхности цилиндров и скорости их вращения определяется последовательность собственных частот которые оказываются комплексными. При малых значениях для всех частот и движение остается устойчивым. С возрастанием до некоторого значения одной из них (обозначим ее ) мнимая часть становится равной нулю, что означает достижение порога устойчивости. Исследование показало, что наименьшему значению соответствует чисто мнимая величина а. Поэтому при не только но и Следовательно, возникает другое стационарное движение — происходит "смена устойчивости". Возникшая структура представляет собой тороидальные вихри, располагающиеся вдоль цилиндра (рис. 21). Соседние вихри вращаются в противоположные стороны. Существование такой структуры подтверждается экспериментально.

Рис. 21. Проекции линий тока тороидальных вихрей на плоскость меридионального сечения цилиндра (направление вращения обоих цилиндров одинаковое).

С дальнейшим возрастанием происходит смена одного периодического движения другим, но для исследования этого процесса использования линеаризованных уравнений недостаточно.