§ 5.2. Фрактальность физических структур

Математическое определение фрактала предусматривает для самоподобных фракталов условия, не выполняющиеся в реальных физических объектах:

1. В множестве нет наименьшего элемента — размер "клеток"

2. Совершается предельный переход — число клеток

В любой физической структуре должен существовать конечный наименьший масштаб. Кроме того, такая структура всегда

ограничена в занимаемом ею пространстве. Это приводит к нарушению самоподобия вблизи границы. Достаточно малая область, содержащая границу множества, отличается в отношении самоподобия от области того же размера, не включающей границу. В связи с этим обстоятельством можно говорить о самоподобии структуры только в определенном смысле. Если внутренний масштаб определяется размером наименьшего из элементов внешний — размером системы то описание структуры как самоподобного фрактала возможно лишь при и для значений . В таких случаях предпочтительнее говорить о квазифракталъности структуры.

Для выяснения возможности описания структуры какого-либо физического объекта в рамках фрактальной геометрии используется метод, основанный на подсчете числа элементов, содержащихся в определенном объеме. Таким путем в ряде случаев можно найти показатель определяющий размерность фрактального множества, являющегося "носителем" объектов, содержащихся в системе.

Пусть некоторая система обладает самоподобной фрактальной структурой, состоит из одинаковых элементов и в объемах, ограниченных концентрическими сферами радиусов содержит соответственно элементов. Полагаем, что

а величина представима в виде

где А — некоторая постоянная и показатель степени должен зависеть от Из формул (11.5) и (12.5) следует равенство

которое определяет величину :

Величина для самоподобных фракталов совпадает с определенной в § 5.1 фрактальной размерностью Для коэффициента А, называемого префактором, имеем выражение

Здесь означает наименьший из рассматриваемых масштабов и число элементов в соответствующем объеме.

Важное для применения в астрофизических исследованиях соотношение получается из равенства (12.5) для систем, в которых все элементы имеют одну и ту же массу то. Отношение масс, содержащихся в соответствующих сферических объемах, записывается в следующем виде:

и, следовательно,

В соотношении означает расстояние от любой выбранной в пределах системы точки. При таком условии средняя плотность вещества в произвольно выбираемом сферическом объеме оказывается зависящей от размера этого объема:

Соотношение между средней плотностью в сферической конфигурации и радиусом этой конфигурации, сходное с зависимостью (14.5), получается, если плотность в конфигурации изменяется с расстоянием до ее центра по закону Однако принципиальное различие между фрактальной структурой, для которой справедлива зависимость (14.5), и сферической системой заключается в том, что величина может отсчитываться от любой точки в системе, по предположению не имеющей центра.

Более сложной является система, состоящая из объектов различной массы. Если структура системы фрактальна, то в этом случае множество, являющееся геометрическим "носителем" объектов, представляет собой мультифрактал.

Существуют системы, для которых фрактальную размерность приходится определять по их проекции. В частности, так поступают при анализе размерности атмосферных облаков, используя зависимость между площадью области и ее периметром. Для многоугольников, кругов и других областей, ограниченных обычными кривыми, отношение длины периметра к величине где площадь области, является величиной, не зависящей от размера области. Однако когда область фрактальна, то фракталей и периметр. Результат измерения величины в этом случае зависит от применяемого эталона. Для фрактального периметра при Площадь же области, определяемая путем наложения на нее квадратов со стороной при остается постоянной. С учетом этого обстоятельства в [32] получено соотношение

где любой достаточно малый эталон длины. Величина С зависит от степени точности, желаемой при измерениях с данным эталоном. Фрактальная размерность, определяемая с помощью соотношения (15.5),

Обширные измерения площади и периметра атмосферных облаков и дождевых зон привели к установлению зависимости между (рис. 28) [31]. Точки соответствуют значениям полученным радиолокационными методами и при наблюдениях с хорошо ложатся на одну прямую (при различии площадей на шесть порядков!) и по наклону прямой найдено значение . Эта величина не зависит ни от размера облаков при ни от физических условий в них. Таким образом, в облаках нет выделенных масштабов, принадлежащих указанному диапазону, и они представляются фракталами. Эти фракталы, по-видимому, являются самоаффинными, так как при наблюдаемой толщине облаков и соответственном различии масштабов в горизонтальном и вертикальном направлении на несколько порядков трудно ожидать в них самоподобия.

Полученная величина относится к периметру облаков и непосредственно не дает информации о фрактальной размерности облаков как фрактальных образований. Поскольку граница облака представляет собой линию пересечения поверхности облака с плоскостью, то значение для облака, вообще говоря, может быть оценено на основании теоремы о сложении (см., например, [32]).

Согласно этой теореме при пересечении фрактальной структуры размерности со структурой размерности в пространстве топологической размерности получается структура, обладающая размерностью

Рис. 28. Площадь дождевых и облачных зон в зависимости от их периметра, определенная по радарным и спутниковым наблюдениям [32].

В рассматриваемом случае Из (16.5) следует, что

Однако более правдоподобным является предположение, что структура облака мультифрактальна и должна поэтому определяться совокупностью различных показателей размерности.

Оставаясь в границах, определяемых геометрией фракталов, можно исследовать структуры только статических систем. Физические системы, как правило, не являются статическими, и поэтому описание их структуры должно содержать и эффекты, обусловленные действием факторов, определяемых внутренними процессами в системе. В связи с этим возникает необходимость введения времени как независимой от других координаты. Для того чтобы применять понятие о фракталах к системам,

в которых важную роль играет случайность, вводится понятие стохастических фракталов. Примером таких процессов является броуновское движение. Как было показано (см., напр., [18]), если время рассматривать как дополнительное измерение, то зависимость положения частицы от времени при броуновском движении оказывается самоаффинной. Там же описаны другие процессы, в которых случайность играет видную роль, например образование волн на море. Статистические свойства оказываются фрактальными.

В астрофизических объектах — таких, как звездные системы, межзвездная среда, межгалактическая среда — всегда имеет место гравитационное взаимодействие между элементами системы. По этой причине элементы движутся в пространстве, и одной фрактальной геометрии в ее обычном виде недостаточно для исследования структуры системы. Тем не менее структуры в таких системах могут обладать фрактальностью в смысле ее второго определения (см. § 5.1). Подобие "в какой-то мере" частей системы целому может существовать и при учете гравитации. Фрактальные структуры, в которых существенную роль играет гравитация, уместно называть динамическими фракталами. Подробнее о таких объектах будет сказано в следующем разделе.