§ 12. Связь между спектрами и характеристиками линейной системы

Пусть дана некоторая линейная система, описываемая обыкновенным дифференциальным уравнением порядка с постоянными коэффициентами:

Применим к обеим частям уравнения преобразование Фурье:

В правой части получится спектр функции при интегрировании левой части применим формулу (5.3). Тогда

или, вводя сокращенное обозначение для многочлена в скобках,

здесь — соответственно спектры функций Таким образом,

и мы можем вычислить у по формуле

Эта формула дает решение уравнения (12.1) по методу интеграла Фурье.

Введем еще обозначение

Эта величина, выражающая отношение комплексных амплитуд на выходе и на входе системы при синусоидальном режиме, называется комплексной частотной характеристикой.

Мы можем переписать (12.3) в виде

Теперь рассмотрим импульсное возбуждение системы. Пусть на вход подается единичный импульс

При этом на выходе будет наблюдаться отклик системы на такого рода воздействие, который мы обозначим

Функцию назовем временнбй характеристикой системы

Для единичного импульса следовательно, в этом случае согласно (12.5)

или

т. е. комплексная частотная характеристика линейной системы есть спектр временной характеристики системы.

Приведем пример. Пусть дана электрическая цепь, составленная из и С в последовательном соединении. Дифференциальное уравнение такой цепи имеет вид

Обозначим

Тогда уравнение примет вид

где, как обычно,

В данном случае

Времени о характеристику получим как решение уравнения

или в операционной форме

откуда

где

Мы видим, что, действительно, формула (12.7) дает спектр функции с формулой (9.8)].

Из (12.6) вытекает возможность экспериментального получения частотной характеристики данной системы путем анализа.

Действительно, вместо того чтобы снимать частотную характеристику при синусоидальном возбуждении исследуемой системы, можно возбудить систему коротким импульсом и проанализировать получаемую при таком возбуждении функцию времени на выходе системы. Римский-Корсаков и Шумова [20] использовали эту возможность для акустических измерений; они возбуждали объект исследования периодически повторяемыми короткими импульсами и получали искомую частотную характеристику в форме линейчатого спектра при помощи автоматического анализатора.

Мы начали наше рассуждение со случая системы с сосредоточенными постоянными, описываемой уравнением в полных производных. Однако соотношение (12.3) [или (12.5)] справедливо и в том случае, когда система описывается уравнением в частных производных. При этом обычно — трансцендентные функции

Рассмотрим пример. Пусть дана звуковая антенна в виде отрезка излучающей прямой длиной Элемент потенциала в удаленной точке

где

есть напряженность элемента длины антенны. Положим

Тогда потенциал в точке наблюдения есть

Но где - угол между направлением на точку наблюдения и перпендикуляром к антенне. Таким образом,

Это выражение дает частотную характеристику системы. Временною характеристику получим, положив и вычислив интеграл

Это выражение представляет собой аналитическую запись прямоугольного импульса. Формула (12.9) дает спектр (12.10) [ср. с формулой (9.4)].

В заключение этого параграфа заметим еще, что в силу (12.6) к характеристикам линейной системы применимосоотношение

Оно читается в данном применении следующим образом: произведение длительности временнбй характеристики на ширину частотной характеристики для любой линейной системы больше некоторой постоянной. При этом подразумевается, что для выбраны соответствующие определения (см. § 11).