§ 8. Спектр суммы периодических функций

В § 5 уже говорилось о том, что преобразование Фурье линейно, и к нему применим поэтому принцип наложения. В случае периодических функций это можно записать так:

т. е. комплексная амплитуда гармоники спектра суммы функций равна сумме гармоник спектров каждой отдельно взятой функции. Это бесспорно, но нас интересуют обычно действительные амплитуды. Для них можно записать

С геометрической точки зрения эта величина представляет собой замыкающую ломаной, стороны которой равны и отложены под соответствующими углами Положим, что дамы два синусоидальных колебания с комплексными амплитудами

Тогда

Эта формула может применяться и в том случае, когда вместо постоянных фазовых углов у мы подставляем как угодно зависящие от времени угловые аргументы Тогда и амплитуда оказывается функцией времени, и получаемое выражение получает смысл огибающей некоторого сложного колебания. Например, если вместо и подставить то мы получим выражение для огибающей биений, возникающих при сложении двух синусоидальных колебаний с амплитудами и частотами

Рассмотрим важный с точки зрения приложений вопрос о спектре функции, получаемой в результате сложения двух одинаковых, но сдвинутых по времени периодических функций. Для некоторой периодической функции

Для такой же функции, но запаздывающей на время имеем

или, заменяя на

Если теперь сложить функции то комплексная амплитуда гармоники их суммы будет равна

а действительная амплитуда равна

Итак, для того чтобы получить спектр суммы двух одинаковых функций, сдвинутых на время х (например, сумму сигнала и его отражения), достаточно умножить амплитуду каждой гармоники на

Рассмотрим пример. Пусть дана периодическая последовательность коротких импульсов и пусть Тогда множитель в формуле (8.2) принимает вид

Таким образом, все нечетные гармоники выпадают. Так оно и должно быть: ведь если то это значит, что импульсы второй серии попадают в середину промежутков первой серии, т. е. получается вдвое более частое следование импульсов, и, стало быть, основная частота, а с нею и частоты всех гармоник увеличиваются вдвое.

Легко сообразить, что то же самое получится при , т. е. когда равно любому нечетному числу полупериодов. Если то из спектра выпадают вторая, шестая, десятая и т. д. гармоники.

Формула (8.2) дает значение амплитуды гармоники спектра суммы функций Если мы составим не сумму, а разность этих двух функций, то, действуя аналогично предыдущему, найдем

Предположим теперь, что х настолько малая величина, что справедливо приближенное равенство

Таким образом, мы выразили разность функций через производную. Найдем спектр

Но так как функции периодическая, то

и, следовательно,

Это соотношение могло бы быть получено из (8.3) путем замены синуса его аргументом.

Все приведенные выше соотношения без труда распространяются и на случай почти - периодической функции; в этом случае во все формулы входит вместо