§ 20. Связь между разрешающей способностью анализатора и временем анализа

При анализе периодических явлений имеет силу очень общее положение, гласящее, что чем больше разрешающая способность анализатора, тем больше необходимое для анализа время.

Это положение легко уяснить себе на примере резонатора. С одной стороны, разрешающая способность резонатора тем больше, чем меньше затухание, т. е. чем острее резонансная кривая резонатора. С другой же стороны, чем меньше затухание резонатора, тем медленнее затухают собственные колебания, возникающие при включении, и тем дольше, следовательно, нужно выжидать, пока режим резонатора можно будет считать уже установившимся. (Очевидно, что отсчет по резонатору при анализе периодического явления следует брать при установившемся режиме. В противном случае нельзя пользоваться при определении разрешающей способности резонатора его статической резонансной кривой (об этом подробно говорилось в § 19).)

Пример с резонатором показывает, что высказанное в начале положение имеет в виду влияние переходных (неустано-вившихся) явлений в анализаторе, и в приведенной формулировке относится только к анализу периодических явлений.

Это положение имеет, как сказано, очень общий характер. Можно привести еще один пример, в котором справедливость этого положения на первый взгляд не очевидна. Речь идет о диффракционной решетке. Разрешающая способность диффракционной решетки как анализатора зависит, как известно, не от периода решетки, а от общего ее размера (от числа штрихов). Но при увеличении размера решетки возрастают пути пробега волн, а следовательно, и соответствующие времена. Понятно, что в оптике это не имеет никакого практического значения, но нас интересует принципиальная сторона вопроса.

Хотя суть дела в общем ясна, мы не можем, конечно, удовлетвориться пояснением положения о связи между разрешающей способностью и временем анализа на отдельных, хотя бы и убедительных примерах. Задача наша состоит теперь в том, чтобы доказать это положение в общем виде.

Представим себе избирательный элемент анализатора в виде четырехполюсника, на вход которого подается величина х, на выходе получается величина , причем избирательность проявляется в том, что отношение

которое можно назвать коэффициентом передачи (или пропускания), зависит определенным образом от частоты, если х и у — колебательные величины.

С другой стороны, если возбудить четырехполюсник толчком на входе, то на выходе возникает переходное явление той или иной длительности. Нам нужно найти связь между шириной частотной характеристики и длительностью переходного явления. Первая величина определяет разрешающую способность, вторая — потребное для анализа время. Интересующая нас зависимость была уже установлена ранее в § 12. Именно, было показано, что

т. е. что комплексный коэффициент передачи есть не что "иное, как спектр функции которая представляет собой явление на выходе при подаче на вход возбуждения вида и которую мы назвали временной характеристикой.

Заметим попутно, что нам удобнее пользоваться для определения длительности переходных явлений именно функцией а не переходной функцией [соответствующей возбуждению вида ], так как последняя функция часто может стремиться с возрастанием к постоянному пределу.

Итак, дело сводится теперь к тому, чтобы установить связь между длительностью функции и шириной ее спектра Эта задача рассмотрена подробно в § 11, в котором установлено, что

Применительно к рассматриваемому вопросу это соотношение удобно записать в виде

и истолковать следующим образом: для данной системы необходимое время анализа обратно пропорционально разрешающей способности. Это положение, таким образом, доказано. Остается еще указать на существенную деталь — как следует понимать выражение «данная система».

Соотношение (20.1) не представляло бы для нас никакого интереса, если бы оно не допускало никаких изменений свойств системы. Вопрос ставится так: если дана функция

где — параметры, и если, естественно, спектр этой функции будет зависеть от тех же параметров, т. е.

то можно ли утверждать, что постоянная А в выражении (20.1) сохранит свое значение при любых изменениях параметров? В таком общем виде это утверждение было бы неверным. Но заметим, что мы имеем дело, в частности, с такими функциями, в выражения которых параметры входят в качестве сомножителей при независимой переменной. Легко показать, что если умножить аргумент на постоянную величину, то будем иметь

и, следовательно, в этом случае

т. е. от изменения параметров произведение Д/Д/ не меняет своей величины.

Следовательно, под данной системой в вышеприведенной формулировке следует понимать систему, отвечающую данной схеме или, говоря более общим языком, описываемую данного вида дифференциальным уравнением, но без закрепления частных значений коэффициентов этого уравнения.

Так, например, если уменьшить затухание резонатора, то время анализа возрастет во столько же раз, во сколько увеличится разрешающая способность.

Теперь заметим, что к соотношению (20.1) можно подойти и с другой точки зрения. Если А есть величина постоянная для данной системы, то как выбрать систему для получения наименьшего А? Ведь у нас нет никаких оснований для того, чтобы считать обычный резонатор наилучшим видом избира тельного элемента для целей анализа. Нельзя ли построить систему, обладающую лучшими свойствами, чем обычный

резонатор, например, обладающую меньшим временем установления при той же разрешающей способности или большей разрешающей способностью при том же времени установления?

Из сказанного в § 11 по поводу колокольного импульса можно заключить, что этот вид импульса обладает особо выгодными свойствами в смысле малости произведения Для того чтобы можно было использовать эти свойства для целей анализа, нужно подобрать такую функцию, которая, сохраняя колоколообразный характер, имела бы максимум на любой заданной частоте Легко сообразить, что если спектр обычного колокольного импульса

имеет вид

то требуемым свойством будет обладать функция

Рис. 36

Такому спектру на основании теоремы (5.6) отвечает функция времени

Это колебание с колоколообразной огибающей показано на рис. 36.

Подобного рода импульс привлекает к себе за последнее время серьезное внимание в новейшей теории связи, где он рассматривается как наивыгоднейший элементарный сигнал. Для нас эта функция имеет другой смысл: она представляет собой временную характеристику некоторой системы, которую мы предполагаем применить в качестве избирательного элемента анализатора. Иначе говоря, эта функция представляет явление на выходе системы при возбуждении на входе вида

Можно высказать некоторые общие соображения о свойствах такой системы. Рассматривай рис. 36, можно заметить,

что искомая система обладает тем существенным свойством, что колебания в ней возникают не сразу, в момент толчка, а постепенно нарастают до максимума, а затем уже начинают убывать. Следовательно, первым приближением к искомой системе могла бы послужить комбинация двух слабо связанных резонаторов, из которых первый воспринимает толчок, а затем постепенно передает энергию второму резонатору, на выходе которого можно таким образом наблюдать картину, до известной степени сходную с рис. 36. Можно полагать, что для такой комбинации произведение окажется меньшим, чем для обычного резонатора. Можно также рассчитывать получить лучшее приближение к требуемым свойствам путем последовательного усложнения системы. И действительно, требуемой характеристикой обладает система из достаточно большого числа слабо связанных контуров, осуществимая практически в виде многокаскадного резонансного усилителя.