§ 3. Интеграл Фурье

Мы говорили до сих пор только о периодических функциях. Попробуем теперь применить разложение Фурье к непериодическим функциям. Для этого заметим прежде всего, что непериодическую функцию можно рассматривать как предельный случай периодической функции при периоде, стремящемся к бесконечности. Если так, то, взяв формулу (2.2), мы можем сделать предельный переход при

Мы имеем для периодической функции

При переходе к пределу последовательность дискретных значений круговой частоты заменится непрерывно изменяющейся текущей частотой , сумма заменится интегралом, и мы получим

где

предполагается, что удовлетворяет условиям Дирихле и абсолютно интегрируема в бесконечных пределах.

Формула (3.1) и есть интеграл Фурье в комплексной форме. Смысл этой формулы состоит в том, что мы представляем данную непериодическую функцию суммой синусоидальных колебаний. Однако речь идет о бесконечной сумме бесконечно малых и бесконечно близких по частоте слагаемых. Комплексная амплитуда каждого отдельного слагаемого бесконечно мала; она равна Частотный интервал между двумя соседними слагаемыми также бесконечно мал; он равен

Если ряд Фурье представляет периодическую функцию суммой, хотя и бесконечного числа синусоид, но с частотами, имеющими определенные дискретные значения, то интеграл Фурье представляет непериодическую функцию суммой синусоид с непрерывной последовательностью частот. В составе непериодической функции имеются, как говорят, все частоты.

Но этого мало. Для правильного физического истолкования интеграла Фурье нужно обратить внимание на очень важное качественное изменение, которое влечет за собой предельный переход от ряда к интегралу Фурье. Непонимание этого изменения и легкомысленный перенос представлений, относящихся к периодическим функциям, в область функций непериодических ведут к серьезным ошибкам.

Дело заключается в том, что синусоида — периодическая функция, которая определяется по (2.1) как существующая вечно. Ряд Фурье дает, таким образом, разложение периодической функции по периодическим же функциям. Стало быть, в этом случае сумма (т. е. разлагаемая функция) обладает существенным свойством своих слагаемых — периодичностью.

В случае же интеграла Фурье непериодическая функция представляется суммой периодических функций, и в этом случае сумма не обладает существенным свойством своих слагаемых.