§ 4. Спектры; определения и классификация

Вернемся к формуле ряда Фурье и перепишем ее

Здесь основная частота. Как мы видим, сложная периодическая функция вполне определяется совокупностью величин Совокупность величин носит название спектра амплитуд. Совокупность величин называется соответственно спектром фаз. Для многих применений достаточно энать спектр амплитуд; он применяется настолько часто, что когда говорят просто спектр, то подразумевают обычно именно амплитудный спектр. В остальных случаях делают соответственные оговорки. Мы будем поступать так же.

Спектр периодической функции можно изобразить графически. Выберем для этого координаты Спектр будет изображен в этой системе коорлинат совокупностью дискретных точек, так как каждому значению соответствует одно определенное График, состоящий из отдельных точек, неудобен. Поэтому принято изображать амплитуды отдельных гармоник вертикальными отрезками соответствующей длины. В результате спектр периодической функции принимает вид, показанный на рис. 1. Это — дискретный спектр; его называют также линейчатым, заимствуя этот термин из оптики.

Второе свойство спектра, изображенного на рис. 1, состоит в том, что этот спектр — гармонический.

Это значит, что он состоит из равноотстоящих спектральных линий; частоты гармоник находятся в простых кратных соотношениях.

Конечно, отдельные гармоники, иногда даже первая, могут отсутствовать, т. е. амплитуды их могут равняться нулю; это, однако, не нарушает гармоничности спектра.

Рис. 1.

Не следует думать, что только периодическая функция обладает дискретным спектром. Предположим, например, что сложное колебание есть результат сложения двух синусоид с несоизмеримыми частотами, скажем Это колебание заведомо непериодическое, однако спектр его дискретен и состоит из двух спектральных линий.

Функция, обладающая дискретным спектром из произвольно расположенных на шкале частот спектральных линий, называется по Г. Бору почти - периодической и обладает многими интересными свойствами

Итак, дискретные, или линейчатые спектры могут принадлежать как периодическим, так и непериодическим функциям. В первом случае линейчатый спектр обязательно гармонический.

Большое практическое значение имеет частный случай почти - периодической функции, представляемой разложением вида

где принимает как положительные, так и отрицательные значения. Спектр, отвечающий этому разложению, характеризуется тем, что линии его эквидистантны; поэтому мы будем называть такого рода линейчатый спектр квазигармоническим. Таковы, например, спектры периодически модулированных колебаний; в этом случае есть не что иное, как несущая частота.

Обратимся теперь к спектрам непериодических функций. Мы уже знаем, что в результате предельного перехода от ряда к интегралу Фурье интервалы между отдельными спектральными линиями неограниченно сокращаются, линии сливаются, и вместо дискретных точек спектр должен изображаться непрерывной последовательностью точек, т. е. непрерывной кривой. Такого рода спектр называется сплошным.

Здесь нужно однако внести одно уточнение. Мы писали формулу интеграла Фурье в виде (2.7):

Подинтегральная функция выражает отдельное, бесконечно малое слагаемое, т. е. колебание с бесконечно малой амплитудой

Отсюда находим

Таким образом, величина выражает не непосредственно амплитуду, а так называемую спектральную плотность. Однако обычно эту деталь опускают и называют комплексным спектром непериодической функции, а абсолютное значение (модуль) этой величины

просто спектром. Это может повести к недоразумениям лишь в том случае, когда мы будем непосредственно сравнивать соотношения для периодических и непериодических функций.

Итак, мы имеем две основные разновидности спектров: линейчатые и сплошные. Гармонические линейчатые спектры принадлежат периодическим функциям, сплошные — непериодическим. Могут встретиться и смешанные спектры, получаемые в результате наложения линейчатого и сплошного спектров. Таким спектром будет, например, обладать колебание, состоящее из периодического сигнала и беспорядочной помехи.

В заключение настоящего параграфа заметим, что теми или иными функциями времени могут выражаться изменения самых различных физических величин. Соответствующий смысл получают и спектры этих функций. В практике приходится, например, иметь дело со спектрами механических величин: смещения, скорости, ускорения, силы, давления и т. п.; электрических величин: тока, напряжения и т. п. Кроме того, нас часто интересуют спектры квадратичных величин: мощности или энергии; например, в оптике чаще всего имеют дело со спектрами этих величин.