7. К вопросу о динамических характеристиках резонатора

Вопрос о динамических характеристиках резонатора рассмотрен в § 21 с временной точки зрения, т. е. требуемый результат получен путем исследования устанавливающегося режима резонатора. Тот же вопрос мог бы быть изложен на чисто спектральном языке следующим образом.

Будем решать задачу о поведении резонатора как стационарную, т. е. положим, что приложенное напряжение представлено суммой синусоидальных напряжений. Воспользуемся процедурой, изложенной в § 12, т. е. применим к уравнению резонатора

преобразование Фурье. Мы получим

где — соответственно, спектры напряжения и тока. Далее,

Но в рассматриваемом случае спектральная плотность является функцией не только частоты, но и времени. В самом деле, приложенное напряжение предполагается синусоидальным, но включается на анализатор в момент Следовательно, для каждого данного момента времени напряжение, воздействующее на анализатор, представляется следующей функцией:

и спектр этой функции в данный момент, т. е. текущий спектр, выражается формулой

где — текущая частота спектра, — текущее время, и — переменная интегрирования. Таким образом, получаем для

Подинтегральная функция имеет два простых сопряженных полюса, лежащих над вещественной осью:

(Точки не являются полюсами, в чем легко убедиться, раскрыв получающуюся неопределенность.) Вычеты подинтегральной функции равны

Выполнив вычисление, находим (положив )

Эта формула представляет собой точное решение задачи, совпадающее, разумеется, с решением, полученным любым другим способом. Вычислив огибающую, найдем

Это выражение несколько отличается от (21.4) вследствие того, что формула (21.4) не является точной; она получена из укороченных уравнений (21.3). Интересно заметить, что в точном решении аргумент косинуса имеет более простой вид.