§ 2. Ряд Фурье

Понятие о разложении Фурье можно считать общеизвестным. Поэтому эдесь напоминаются лишь основные соотношения и определения. Математические подробности читатель найдет в любом учебнике.

Мы начинаем с определения периодической функции:

Здесь Т — постоянная величина, называемая периодом, —любое целое число, положительное или отрицательное. Определение (2.1) выражает основное свойство периодической функции, состоящее в том, что ход явления периодически повторяется и что периодичность эта существует вечно, т. е. для всех времен от до

Из этого сразу можно заключить, что периодических явлений в строгом смысле определения (2.1) в действительности нет и быть не может. Периодическая функция есть полезная математическая абстракция; ее соотношение с действительными явлениями выяснится в дальнейшем.

Всякая - с несущественными для нас математическими ограничениями - периодическая функция может быть представлена рядом по тригонометрическим функциям

сумма берется по всем целым Формула (2.2) и есть ряд Фурье в комплексной форме. Периодическая функция представлена, таким образом, суммой слагаемых вида каждое из которых представляет собой синусоидальное колебание. Эти колебания образуют гармоническую последовательность; это значит, что частоты отдельных слагаемых кратны основной частоте . Отдельные слагаемые носят название гармоник. Колебание с частотой называется первой гармоникой с частотой — второй гармоникой

Величина называется комплексной амплитудой. Она может быть записана в виде

где — просто амплитуда, а — начальная фааа данной гармоники. Комплексная амплитуда вычисляется по формуле

Формула (2.3) определяет коэффициенты разложения (2.1) единственным образом, и вопрос о построении ряда Фурье для данной функции этим исчерпан.

Ряд Фурье (2.1) может быть также записан в вещественной форме:

где

Величина выражает среднее значение функции за период; она называется часто постоянной составляющей; что касается величин то они связаны с ранее введенными следующими соотношениями:

Итак, ряд Фурье представляет данную периодическую функцию суммой синусоид с соответствующим образом подобранными амплитудами и фазами. Если мы ограничимся конечным числом членов ряда, то получим приближенное изображение функции. Приближение будет тем лучше, чем большее число членов ряда мы возьмем. Мы можем записать

и приближенное равенство перейдет в точное в пределе при N, стремящемся к бесконечности.

При этом существенно, что приближение (2.6) есть всегда наилучшее приближение для любого N, т. е. если мы желаем аппроксимировать периодическую функцию тригонометрическим полиномом, то наименьшее квадратичное отклонение получится, если коэффициенты полинома будут определены формулами (2.5).