4. Разложение спектров по спектрам элементарных функций

Линейность преобразования Фурье, выражаемая соотношением (5.1), позволяет применить общий прием приближенного вычисления спектра, основанный на следующих соображениях.

Пусть данная функция аппроксимирована конечной суммой некоторых произвольно выбранных функций т. е.

Если спектры функций известны, то, обозначая их через имеем

Это соотношение может служить основой для многочисленных вариантов формул и таблиц для вычисления спектров заданных функций.

Мы ограничимся здесь двумя примерами, относящимися к непериодическим функциям импульсивного характера, в частности к функции, не равной нулю на протяжении времени .

Пусть, например, функция существует на промежутке Выберем разложение по тригонометрическим функциям, т. е. разложим в ряд Фурье на указанном промежутке. Мы получим

где

Таким образом, в этом примере элементарная функция есть

Спектр этой функции имеет вид

и следовательно, искомый спектр есть

Приближение будет, очевидно, тем лучшим, чем больше число слагаемых суммы.

Рис. 55.

В качестве второго примера применим аппроксимацию заданной функции ступенчатой ломаний линией, разбив интервал на частей т. е. положив

и выбрав элементарную функцию в форме прямоугольного импульса. Тогда можем записать (рис. 55)

Элементарный импульс равен

Его спектр имеет вид

следовательно, искомый спектр имеет форму

Приближение улучшается с возрастанием . В пределе при т. е. при множитель обращается в единицу, а сумма переходит в интеграл Фурье, дающий точное значение спектра функции т. е.