9. Случайные процессы и их спектры

За последнее время большое внимание уделяется вопросам, связанным с борьбой с различного рода помехами. Помехи представляют собой нерегулярные явления и могут описываться лишь статистически. Типичным примером такого явления является шум, обусловленный флуктуациями, например тепловыми. А так как именно разного рода помехи препятствуют увеличению чувствительности аппаратуры в различных отраслях техники, то неудивителен тот интерес, который проявляется к помехам техниками и физиками.

С другой стороны, в той отрасли математики, которая одна лишь может доставить адэкватное этим явлениям орудие исследования, — в теории вероятностей — также за последнее время усиленно развивается направление, изучающее не дискретные наборы случайных величин, а непрерывные случайные процессы.

Таким образом, техники получают новый и специально приспособленный к особенностям проблемы аппарат математического исследования. При таком положении можно с полным основанием ожидать быстрого развития теории и практики исследования помех. Действительно, за последнее время в этой области сделано довольно много.

Нет, понятно, никакой возможности в рамках короткого обзора охватить этот обширный и специальный материал. Здесь будет сделана лишь попытка в самых общих чертах охарактеризовать применяемые в настоящее время определения и представления (см. список литературы в конце данного раздела).

Прежде всего отметим некоторые из установившихся терминов. Случайным или стохастическим процессом называется явление, описываемое непрерывной последовательностью значений некоторой величины, связанной с другой не функциональной, а вероятностной зависимостью. Если, скажем, наблюдаются значения величины Е для различных значений времени, то, записав связь между в виде мы понимаем под этим, что при величина может с определенной степенью вероятности принимать значения и т.п. Важным частным видом случайного процесса является так называемый процесс без последействия, или

марковский процесс. Его особенность заключается в том, что вероятность любого последующего значения наблюдаемой величины полностью определяется значением, наблюдаемым в данный момент; знание предшествующего хода явления ничего не добавляет к тому, что можно в данный момент сказать о последующем ходе явлений, основываясь на его вероятностных характеристиках. Случайный процесс называется стационарным, если его вероятностная характеристика не изменяется с течением времени. Именно такого рода процессы представляют наибольший интерес для техники. Иногда для пояснения природы стационарного процесса ссылаются на неизменность порождающего этот процесс физического механизма; так, например, основным (и неизменным во времени) механизмом, порождающим тепловые флуктуации, является броуновское движение; тепловые флуктуации — процесс стационарный.

Случайно изменяющиеся величины можно характеризовать средними значениями, или математическими ожиданиями. Определение математического ожидания таково:

где означает функцию распределения. Но по эргодической теореме Хинчина этот интеграл совпадает со средним значением величины 6 во времени:

Именно этим способом усреднения мы и будем пользоваться.

Интересующие нас случайные процессы, например разного рода флуктуации, характеризуются отклонением наблюдаемой величины от некоторого среднего значения; положительные и отрицательные отклонения равновероятны. Поэтому примем

Среднее же значение квадрата случайной величины Б, очевидно, не равно нулю и для стационарного процесса конечно.

Мы имеем

Дисперсия случайной величины выражается через ее математическое ожидание следующим образом:

Но в нашем случае второй член выпадает на основании (Д. 12). В дальнейшем будем полагать

Важнейшей характеристикой стационарного процесса является коэффициент корреляции, устанавливающий вероятностную зависимость между при двух разных значениях времени, различающихся на т.

Обозначив

будем иметь по определению, принятому в теории вероятностей

Но так как у нас

то просто имеем

Переходя согласно к средним по времени, получим

Определенную таким образом величину мы будем называть функцией корреляции (аргумента ) Выясним некоторые свойства функции корреляции.

Очевидно, что

так как при этом т. е. функция корреляции устанавливает степень связи величины Е с самой собой. Во многих случаях при увеличении х связь ослабевает, и в пределе

Если Е и Е, статистически независимы, то по теореме о математическом ожидании произведения двух независимых величин имеем

т. е. коэффициент корреляции равен нулю.

Так как для стационарного процесса начало отсчета времен безразлично, то

— четная функция своего аргумента.

Если Е и х связаны не вероятностной, а функциональной зависимостью, то это еще не означает полной корреляции, т. е. Так, например, если — периодическая функция, то и — периодическая функция того же периода. Это вытекает непосредственно из определения функции корреляции и из условия стационарности: если где Т—период, то

Нетрудно вычислить и коэффициенты Фурье периодической функции Пусть

Тогда

Здесь в силу периодичности среднее берется за период; индексы и принимают все целые значения между . Далее,

Но Таким образом, выражение под знаком сумм равно нулю при любых комбинациях кроме . В последнем случае выражение равно единице, и мы получаем

т. е. амплитуда гармоники функции корреляции равна квадрату амплитуды соответствующей гармоники функции

Для уяснения смысла и свойств функции корреляции рассмотрим пример. Пусть дана последовательность весьма коротких импульсов, причем рассматриваются два различных условия: последовательность периодическая, последовательность случайная, т. е. величина интервала между соседними импульсами может принимать значение в зависимости от случая.

При первом условии (рис. 59) по только что доказанному функция корреляции будет представлять собой также периодическую последовательность импульсов (несколько измененной формы). Это легко себе представить, если мысленно смещать графики друг относительно друга, т. е. изменять т. Ясно, что произведение Равно нулю при всех х кроме

При втором условии при данном смещении х совпадение отдельных импульсов возможно, но на всем бесконечном протяжении оси совпадений будет относительно мало, так что среднее значение произведения — будет равно нулю для любых х кроме когда это значение равно единице. Рассмотренный случай является, таким образом, примером предельно слабой корреляции.

Из сказанного уже видно, что функция корреляции представляет собой весьма универсальное и удобное средство описания общих вероятностных свойств случайных процессов. Но польза функции корреляции становится особенно очевидной, когда выясняются ее спектральные свойства, к чему мы и переходим.

Рис. 59.

Текущий спектр случайного процесса запишем (см. § 19) в виде

Теперь заметим, что в зависимости от того, какой физический процесс мы изучаем, может иметь смысл смещения, тока, напряжения и т. п. Мгновенная мощность процесса пропорциональна элементарная работа равна Средняя мощность дается выражением

Но это есть не что иное, как средний квадрат величины 5, совпадающий с ее дисперсией. Таким образом, установлен физический смысл этих вероятностных величин.

Энергия процесса за время С имеет вид

Но по теореме Рейли

где

Используя можем записать]

где

Из имеем

Таким образом, величина выражает спектральную плотность мощности, или, короче, спектр мощности. Величина есть мощность, приходящаяся на полосу частот

Теперь вычислим спектр функции корреляции. Мы имеем определение

Заметим, что интеграл

есть так называемая свертка функций спектр которой, как мы вывели ранее (§ 5), выражается произведением спектров обеих функций. В нашем случае спектр функции

равен

Таким образом, для спектра функции корреляции имеем

и следовательно, можем записать

или, принимая во внимание четность функции в виде двух косинус - трансформаций Фурье:

Итак, оказывается, что спектр функции корреляции есть не что иное, как спектр мощности процесса. Это обстоятельство еще больше повышает ценность функции корреляции как средства описания случайного процесса.

Из приведенных соотношений можно сделать некоторые заключения о путях анализа случайных явлений типа флуктуационных шумов и других так называемых «гладких помех», относящихся к стационарным стохастическим процессам. Нужно построить анализатор, способный измерить величину т. е. спектр мощности. Для этого анализатор должен измерять текущий спектр мощности

либо непосредственно, либо путем измерения текущего спектра энергии с одновременным делением последней величины на протекшее время С. Анализатор должен включаться на

достаточное время, чтобы его показание установилось в соответствии с определением

Само собой разумеется, что речь ложет итти только об одновременном анализе посредством набора избирательных элементов - резонаторов или полосных фильтров.

ЛИТЕРАТУРА К РАЗДЕЛУ 9

(см. скан)