Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 11. Связь между длительностью импульса и шириной его спектраМы уже установили, что чем короче импульс, тем шире его спектр, в частности, бесконечно короткий импульс имеет бесконечно протяженный спектр с равномерной плотностью. В этом проявляется одно весьма общее и имеющее очень большое значение соотношение, к установлению которого мы подойдем постепенно. Сперва рассмотрим несколько примеров. Возьмем снова прямоугольный импульс [см. § 9, формулу (9.4) и рис. 12]. Для спектра такого импульса мы получим
Сопоставим теперь длительность импульса и ширину его спектра. Под длительностью импульса формулы (11.1) видно, что это случится, когда аргумент синуса будет равен
или
т. е. произведение длительности данного импульса Для треугольного импульса мы получили
Первый пуль спектра будет при
откуда
Мы сохраняем определения для Для косинусоидального импульса
и искомое соотношение принимает вид
Для импульса в форме усеченной синусоиды
Если в согласии с предыдущим считать за длительность данного импульса величину
то снова получится
Для всех рассмотренных примеров получаете», что
Однако, если бы мы захотели увеличить число примеров, то скоро натолкнулись бы на затруднение при выборе определений
Предыдущее определение Прежде всего заметим, что вопрос о соотношении между Таким образом, с одной стороны, мы требуем малого Если подходить к вопросу об определении величин сосредоточена подавляющая часть энергии импульса. Аналитически это определение можно сформулировать так:
Здесь
— величина, пропорциональная полной энергии импульса; Аналогичным образом можно определить и ширину спектра
Заметим, что по теореме Рэйли
Что касается величины
Только случай несимметричного импульса требует детального рассмотрения. По смыслу выбранного определения нужно выбрать
удовлетворялось при наименьшем значении
Находим производную
Минимум будет при
т.е. при
Используя это условие, нетрудно уже найти
(рис. 20); проделав все вычисления, находим
После этого замечания вернемся к ранее рассмотренным импульсам и вычислим их длительности и ширины их спектров, основываясь на предложенном определении. Выбирая для Таблица (см. скан)
Рис. 20. Мы ограничимся лишь одним замечанием по поводу этой таблицы: как видим, что выражающая его функция непрерывна со всеми своими производными. Из всего изложенного можно заключить, что связь между
где Определения, которыми мы только что воспользовались, при всей их простоте и практическом удобстве не позволяют, к сожалению, поставить и разрешить вопрос в общем виде. Мы введем новые определения для
Рис. 21. Для большей наглядности поясним эти определения ссылкой на общеизвестные понятия и определения технической механики. Предположим, что нам дана произвольная плоская фигура Напомним определения. Моментом инерции плоской фигуры относительно оси
Главной осью называется ось, проходящая через центр тяжести площади. Для определения координаты центра тяжести, т. е. положения главной оси, нужно найти так называемый статический момент площади
после чего координата центра тяжести определяется по формуле
Главный момент инерции, т. е. момент относительно главной оси
Если положить
то в этом определении величина Итак,
и определенная таким образом величина может служить универсальной мерой ширины данной фигуры в направлении оси X. Обратимся теперь к импульсам и их спектрам. Графики как тех, так и других являются плоскими фигурами, к которым в полной мере применимо все сказанное выше. Для импульсов роль оси X выполняет ось времен, для спектров — ось частот. Элемент площади фигуры выразится произведением значения функции на дифференциал независимой переменной. Однако, ввиду того что нам встречаются и знакопеременные функции, удобнее оперировать не самой функцией, а ее квадратом. Таким образом, можно ввести следующие обозначения и определения:
Далее, согласно (11.10)
Отсюда
или, используя (11.8) и вводя
Теперь ограничим и упростим задачу, предположив, что речь идет о четных функциях времени. Тогда
и, кроме того,
Условимся, далее, что функция
и соответственно
Займемся теперь интегралом
Мы имеем
Продифференцируем обе части по о»
где
Воспользовавшись теоремой Рэйли, получим
Введя все эти соотношения в (11.11), находим (индекс
Поставим себе теперь задачу найти наименьшее значение
Воспользуемся для этой цели, следуя Майеру и Леонтович [17], вариационными методами. Составим первую вариацию величины (11.13):
Для нахождения минимума мы должны приравнять эту вариацию нулю. Но при этом интегралы
Теперь мы можем записать уравнение Эйлера
в следующем виде:
Умножим это уравнение на а и проинтегрируем от пуля до бесконечности. Интеграл в первом члене возьмем по частям
[так как
и таким образом мы получим соотношение
Замечая, что согласно (11.13)
мы можем теперь записать
Для оценки этого выражения обратимся к неравенству Шварца:
В нашем случае
Вычисляя интеграл в правой части неравенства по частям, найдем, что он равен —
и
откуда, наконец,
Мы получили, таким образом, оценку Колокольный импульс и его спектр были определены выше (§ 9):
Из условия нормировки
определяем
Подставляя эти значения в формулу (11.13), получим
Можно было бы продолжить исследование и искать форму наивыгоднейшего (с точки зрения наименьшего значения
Это есть уравнение Вебера; его решением является функция Вебера из соотношения
В частности,
Однако этим, пожалуй, заниматься не стоит; достаточно знать, что колокольный импульс весьма близок к теоретически достижимому оптимуму.
|
1 |
Оглавление
|