Глава 6. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

6.1. Введение

Разложение заданного электрического сигнала на составляющие различных частот с помощью рядов или преобразований Фурье является столь полезной техникой при изучении электрических цепей, что естественно встает вопрос о возможности применения аналогичных методов к шумовым сигналам. Ответ на этот вопрос является в основном положительным; шумовые сигналы описываются вероятностными процессами, и для стационарных (или стационарных в широком смысле) процессов развита вполне удовлетворительная теория их анализа методом Фурье. В настоящей главе мы рассмотрим некоторые разделы этой теории.

Ряды Фурье.

Предполагается, что читатель имеет некоторое знакомство с рядами и интегралами Фурье поэтому мы напомним здесь и приведем для справок лишь немногие основные факты. Если — действительная или комплексная периодическая функция действительного переменного t (т. е. времени, если представлять себе как сигнал) и если абсолютно интегрируема в пределах периода Т, т. е. если

то с связан ее ряд Фурье

где коэффициенты называются коэффициентами Фурье и определяются формулой

При соблюдении некоторых условий, налагаемых на сумма в правой части (6.2) сходится в том или ином смысле к . В частности, если имеет в интервале ограниченную вариацию, то эта сумма сходится к всюду, где непрерывна. Так как требование ограниченности вариации, грубо говоря, сводится к тому, что полное возрастание и полное убывание функции в интервале О должны быть конечны, то это условие на обычно удовлетворяется в практических задачах.

Другим возможным условием является интегрируемость в квадрате функции в интервале , т. е. выполнение неравенства

При этом сумма (6.2) сходится к в том смысле, что

Этот вид сходимости, означающий стремление к нулю среднеквадратичной ошибки, называется сходимостью в среднем: принято писать

Так как условие (6.4) означает, что энергия за один период функции конечна, то мы почти всегда имеем дело со случаями, где оно выполняется. Впредь мы будем предполагать, если не оговорено противное, что все вводимые нами функции удовлетворяют условию (6.4) для любого конечного Т, независимо от того, является ли Т периодом периодической функции или нет. В дальнейшем нам будет удобно писать просто вместо того чтобы говорить, что равно пределу в среднем, указанному в (6.6).

Выполнение условия (6.4) влечет за собой теорему Парсеваля, которая гласит, что средняя энергия сигнала равна сумме средних энергий всех частотных компонент, т. е.

Преобразования Фурье.

Преобразование Фурье от функции определяется формулой

если этот интеграл существует в каком-либо смысле. Обратное преобразование Фурье от определяется формулой

если она имеет смысл. Одним из основных результатов теории преобразований Фурье является теорема Планшереля, которая гласит, что если функция интегрируема в квадрате на всей оси — , т. е. если

то существует функция также интегрируемая в квадрате на всей оси и связанная с соотношениями

и

При выполнении условия (6.10) имеет место теорема, аналогичная теореме Парсеваля, т. е.

Мы будем называть парой преобразований Фурье. Если в дополнение к сказанному выше функция абсолютно интегрируема, то задается равенством (6.8); если абсолютно интегрируема, то задается равенством (6.9). Как и в случае рядов Фурье, мы будем обычно записывать преобразования Фурье в виде (6.8) и (6.9) даже тогда, когда для корректности математической терминологии следовало бы говорить о пределе в среднем.