§ 4.12. Понятие интеграла Фурье. Повторный интеграл Фурье

Рассмотрим сначала кусочно-гладкую периода  функцию , удовлетворяющую свойству

.                           (1)

Это значит, что  имеет период , непрерывна и имеет непрерывную производную всюду на действительной оси, за исключением точек, которых на периоде  конечное число; при этом в этих точках существуют пределы  и справа и слева. Кроме того, мы предполагаем, что в любой точке выполняется равенство (1). Это условие конечно существенно только для точек разрыва , потому что в точках непрерывности оно выполняется автоматически. Совокупность всех указанных периодических функций  обозначим через .

Для каждой функции  можно рассматривать ее ряд Фурье

,                            (2)

где

,                                            (3)

,                                                (4)

,                                       (5)

.

Выпишем еще -ю сумму ряда Фурье функции :

.                                            (6)

В теории рядов Фурье доказывается, что для любой функции  имеет место

,                                      (7)

т. е. ряд Фурье функции  сходится к ней в любой точке .

Интегралы Фурье могут быть введены по аналогии с рядами Фурье.

Теперь мы будем рассматривать непериодические функции  кусочно-гладкие и абсолютно интегрируемые на действительной оси. Для них, таким образом, интеграл (несобственный)

конечен.

Термин кусочно-гладкая функция понимается в следующем смысле. Функция  непрерывна и имеет непрерывную производную для всех точек  действительной оси за исключением конечного числа точек, где функция  или ее производная  разрывна. Однако в точках разрыва существуют правый и левый пределы как , так и , при этом имеет место равенство

.

Совокупность указанных непериодических функций обозначим через .

По аналогии с коэффициентами Фурье мы вводим для функций  функции

,                                  (3')

,                                              (4')

.                              (5')

В то время как коэффициенты Фурье определяются для дискретных значений , их аналоги (3') - (5') являются уже функциями непрерывного аргумента .

По нашему предположению функция  кусочно-непрерывна, тем не менее функции  и  непрерывны.

Например, пусть для простоты функция  имеет только одну точку разрыва . Тогда интеграл (3') можно разбить на два интеграла

.                                                (8)

Если видоизменить функцию  в точке , считая, что  то под первым интегралом в (8) будет находиться непрерывная функция от  и . По признаку Вейерштрасса (см. теорему 3 § 2.15) первый интеграл равномерно сходится, потому что

.

Но тогда первый интеграл есть непрерывная функция от  (см. теорему 1 § 2.15). Подобным образом доказывается непрерывность по  и второго интеграла (8).

Отметим еще, что

,                                                   (9)

,                                                  (10)

.                                                   (11)

Например, чтобы доказать свойство (9), введем в интеграле (3') замену переменной . Тогда

.

Из этого равенства и из (3') следует:

.

Последнее соотношение (стремление к нулю), конечно, надо доказывать, но мы это делать не будем.

Аналогом отдельного члена ряда Фурье (гармоники) естественно считать функцию

     (12)

Точнее, аналогом члена ряда Фурье надо считать

.                           (12')

Аналогом -й суммы Фурье надо считать следующий интеграл (см. (12)):

  (13)

Мы переставили местами интегралы. В данном случае это законно. На основании известной в анализе теоремы Фубини переставлять интегралы в кратном интеграле можно, если после перестановки получится абсолютно сходящийся кратный интеграл. В данном случае

.

В силу (12) функцию  можно также записать в комплексной форме

                        (13')

Функцию

                                 (14)

называют простым интегралом Фурье.

Можно доказать, что если , то для

,                                       (15)

т. е. имеет место свойство, аналогичное свойству (7) для рядов Фурье.

Отметим, что -я сумма ряда Фурье периодической функции может быть записана следующим образом (пояснения ниже):

                      (16)

В предпоследнем равенстве мы воспользовались формулой (см. нашу книгу «Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление», § 9.8 (15))

.

В последнем же равенстве (16) мы сделали замену переменной . В силу этой замены интеграл по отрезку  по  перейдет в интеграл по  по , но последний отрезок можно снова заменить на отрезок , потому что подынтегральная функция (от ) периода  (см. (3) § 4.3).

Мы видим, что интеграл в правой части (16) очень похож на интеграл (14). Поэтому не так уж удивительно, что оба эта интеграла стремятся при  к функции .

Из (13) и (15) следует, что

.                            (17)

Следовательно, для любой функции

.                                      (18)

Это очень важное равенство, которое составляет основу в теории интегралов Фурье.

Интеграл в (18) называется повторным интегралом Фурье.

Равенство (18) утверждает, что для функций  повторный интеграл Фурье от  в точке  равен значению функции  в точке .

В интеграле (18) менять порядок интегрирования нельзя. Да ничего бы и не получилось хорошего. Если бы мы произвели такую замену - пришлось бы тогда интегрировать по  функцию  (при фиксированных  и ) на бесконечном интервале , но такой интеграл не имеет смысла.

Таким образом, в повторном интеграле (18) мы должны сначала интегрировать функцию  по  на , а затем по  на . Оба интеграла несобственные. Интеграл по , очевидно, абсолютно сходится. Что же касается интеграла по , то это, вообще говоря, не так.

Буквы  и  в интеграле (18) можно, конечно, заменить при желании любыми другими буквами  что не изменит величину интеграла.

Из (13) и (15) мы получили формулу (18). С другой стороны, из (13') и (15) мы получим другую важную формулу, верную для функций :

.               (19)

Введем обозначения

 называется преобразованием Фурье или прямым преобразованием Фурье функции , а  называется обратным преобразованием Фурье функции . Операции ~ и ^ взаимно обратны. Если к функции  применить операцию ~, а к полученной функции  применить операцию ^, то, как видно из (19) , получим снова функцию :

, аналогично                                         (20)

Задача. Доказать следующие формулы для функций :

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) (-действительное);

6) .

Например,