4.1. Потенциал Г или производящая функция семиинвариантов

Для термодинамической системы или информационной системы, к которой относится формула (3.5.1), введем симметрично определенные параметры и соответствующий им потенциал который математически эквивалентен свободной энергии но имеет перед ней то преимущество, что является производящей функцией семиинвариантов.

Для физической термодинамической системы равновесное распределение обычно задается формулой Гиббса

где динамические переменные — координаты и импульсы; функция Гамильтона, зависящая от параметров Формула (4.1.1) является аналогом формулы (3.5.2). Предположим, что функция Гамильтона линейна по указанным параметрам

Тогда (4.1.1) примет вид

Введем новые параметры

которые будем называть каноническими внешними параметрами. Параметры

называем случайными внутренними параметрами, а

— каноническими внутренними параметрами, сопряженными с внешними параметрами Вводя также потенциал Г, запишем распределение (4.1.3) в каноническом виде

Здесь или, как следует из условия нормировки,

где

— соответствующая статистическая сумма.

В симметричной форме (4.1.6) температурный параметр выступает на равных правах с другими параметрами которые связаны с . В этой форме представляется также (при условии линейности с по а) выражение (3.5.2).

Проинтегрируем (4.1.6) по переменным таким, что в совокупности образуют ?. Тогда получим распределение по случайным внутренним параметрам

где

Его, в свою очередь, назовем каноническим.

В случае канонического распределения (4.1.6) легко выразить характеристическую функцию

случайных величин через Г. В самом деле, подставляя (4.1.9) в (4.1.10), имеем

Отсюда, учитывая, что

в силу нормированности распределения (4.1.9), получаем

Логарифм

характеристической функции (4.1.10) представляет собой характеристический потенциал или производящую функцию

семиинвариантов (кумулянтов), поскольку они, как известно, вычисляются его дифференцированием:

Подставляя сюда вытекающее из (4.1.11) равенство

находим окончательно

Отсюда видно, что потенциал является производящей функцией семиинвариантов для целого семейства распределений При из (4.1.13) имеем

Первая из этих формул

эквивалентна формулам (3.3.16), (3.3.17). Остальные формулы

эквивалентны равенствам

При данном определении параметров, когда энергия (средний штраф) и температура имеют вид рядовых параметров, своеобразную форму имеет соотношение, определяющее энтропию. Подставляя (4.1.1) в формулу для физической энтропии

или, взяв аналогичную формулу для дискретной версии, имеем

Подставляя сюда (4.1.2) и учитывая обозначения (4.1.4), (4.1.5), получаем

или, если учесть (4.1.14),

Приведем еще одно следствие из формулы (4.1.13). Теорема 4.1. Канонический потенциал является вогнутой функцией от параметров а в области определения параметров.

Доказательство проведем при дополнительном условии двукратной дифференцируемой потенциала. Воспользуемся формулой (4.1.13) при принимающей вид

и учтем, что корреляционная матрица является неотрицательно определенной. Поэтому и матрица вторых производных является неотрицательно определенной, что доказывает вогнутость потенциала. Доказательство закончено.

Следствие. При наличии лишь одного параметра функция определяемая преобразованием Лежандра

является выпуклой.

В самом деле, как следует из формулы (4.1.16) и формулы для обратного преобразования Лежандра

справедливы соотношения

Так как в силу теоремы (при условии дифференцируемости), то и, следовательно,

Это утверждение можно доказать также, не используя условие дифференцируемости.

В заключение параграфа приведем формулы, касающиеся характеристического потенциала энтропии, определенного ранее формулой типа (1.5.15), но относящиеся теперь к обобщенной версии. Теорема 4.2. Для канонического семейства распределений

характеристический потенциал

случайной энтропии

имеет вид

Для доказательства достаточно подставить (4.1.17) в (4.1.18) и учесть формулу типа (4.1.10а), определяющую

Дифференцируя (4.1.19) по и приравнивая нулю (по аналогии с (4.1.12) при можно найти среднее значение энтропии, совпадающее с (4.1.146). Повторным дифференцированием можно получить выражение для дисперсии.