12.2. Приток шенноновской информации и превращение теплоты в работу

Сказанное выше о возможности превращения тепловой энергии в механическую вследствие притока информации распространяется и на тот случай, когда информация носит более сложный характер,

когда она не сводится к указанию области принадлежности Такой более сложный случай мы будем иметь, если область указывается не безошибочно. Пусть номер области, сопряженный с возможной ошибкой, истинный номер области, содержащей х. В данном случае количество поступающей информации определяется шенноновской формулой Оно меньше, чем энтропия Не рассматривавшаяся в предыдущем параграфе.

Далее в более общем случае информация о значении х может поступать не в виде номера области, а в виде какой-то другой случайной величины у, статистически связанной с х. В этом случае количество информации также определяется шенноновской формулой [см, (6 2.1)]:

Апостериорное распределение теперь будет иметь более сложную форму, чем (12.1.3). Тем не менее обобщенный второй закон термодинамики будет иметь прежний вид (12.1.12), если под понимать шенноновское количество информации (12.2.1). Формула (12.1.10) теперь заменится формулой

Чтобы в этом убедиться, следует рассмотреть бесконечно медленный изотермический переход от состояния, соответствующего апостериорному распределению и имеющего энтропию к первоначальному (априорному) состоянию с заданным распределением Этот переход должен происходить в соответствии со вторым законом термодинамики (12.1.11), т. е. в соответствии с формулами (12.1.13), (12.1.16). Суммируя элементарные работы (12.1.16), получаем, что каждому наблюденному значению у соответствует работа

Здесь свободная энергия (12.1.2), свободная энергия

(соответствующая апостериорному распределению которая мыслится как равновесная при поставленных стенках (см. ниже). Подставляя (12.2.4) в (12.2.3) и усредняя по у при учете соотношения получаем

т. е. неравенство (12.2.2).

Однако в данном более общем случае конкретный идеальный термодинамический процесс, при котором соотношение (12.2.2) справедливо со знаком равенства, сложнее, чем в § 12.1. Поскольку теперь апостериорная вероятность не сконцентрирована в одной области мы не можем удалять в бесконечность стенки,

поставленные вокруг этой области (так можно делать только, если, используя условие информационной устойчивости, перейти к рассмотрению безошибочной информации). Тем не менее использованный прием установки, передвижения и убирания стенок применим и теперь. Как и в § 12.1, установка и убирание стенок должны осуществляться мгновенно, без изменения энергии и энтропии; поэтому-то физическая равновесная свободная энергия после установки стенок оказывается равной выражению (12.2.4).

Рассмотрим несколько подробнее, как осуществить термодинамический процесс, близкий к идеальному. Возьмем апостериорное распределение и установим в пространстве X систему стенок, которая разбивает это пространство на ячейки Если бы этих стенок не было, то в процессе релаксации распределение само собой перешло в равновесное распределение Система стенок удерживает систему в состоянии с распределением На стенки действуют со стороны физической системы некоторые механические силы. Будем теперь медленно перемещать стенки таким образом, чтобы фактическое распределение непрерывно перешло от неравновесного к равновесному (12.1.1). Все промежуточные состояния при этом должны быть состояниями термодинамического равновесия для данной конфигурации стенок. Конечное состояние является состоянием равновесия не только при наличии стенок, но и при их отсутствии. Поэтому стенки под конец можно незаметно убрать. В процессе перемещения стенок механические силы, действующие на стенку, совершают механическую работу, среднее значение которой подсчитывается термодинамическими методами наподобие (12.2.3)-(12.2.5). Мы будем иметь в точности равенство если удастся подобрать конфигурации стенок так, чтобы начальное распределение и конечное (12.1.1) были точно равновесными для начальной и конечной конфигурации. Когда распределения неравномерные, чтобы приблизиться к пределу может потребоваться специальный предельный переход, при котором размеры отдельных ячеек между стенками должны стремиться к нулю.

В качестве примера рассмотрим более простой случай, когда идеальный термодинамический процесс возможен при небольшом числе ячеек.

Пусть представляет собой отрезок, а функция является постоянной, так что распределение (12.1.1) равномерное. Пусть далее производится измерение, в какой половине отрезка находится точка Пусть информация об этом передается с ошибкой, вероятность которой равна При этом количество информации равно

Пусть пришло сообщение, что т. е. х находится в левой половине: Этому сообщению соответствует апостериорное распределение

В точке устанавливаем стенку, которую затем будем медленно перемещать. Чтобы найти силы, действующие на стенку, для каждого положения z стенки вычислим свободную энергию. Поскольку вычисление свободной энергии сводится к вычислению энтропии. Если стенка из точки перемещена в точку то распределение (12.2.6) заменяется распределением

ему соответствует энтропия

и свободная энергия

Дифференцируя по находим действующую на стенку силу

Если бы координата х находилась слева, то действующая сила равнялась бы (по аналогии с формулой давления идеального газа z играет роль объема), если бы х была справа, то действовала бы сила Формула (12.2.9) дает апостериорное математическое ожидание этих сил, так как есть апостериорная вероятность неравенства

Работу силы (12.2.9) на отрезке можно вычислить, взяв разность потенциалов (12.2.8):

Начальное положение стенки, как указывалось, лежит посередине Конечное положение таково, что распределение (12.2.7) становится равновесным. Это дает

Подставляя указанные значения в (12.2.10), (12.2.8), находим искомую работу

Аналогичный результат имеет место и для второго сообщения При этом стенку нужно передвигать в другую сторону. Средняя работа А определяется тем же выражением (12.2.11). Сравнение этого выражения с (12.2.5а) показывает, что выполняется соотношение (12.2.2) со знаком равенства.

В заключение нужно указать, что условие равновесности исходного распределения [см. (12.1.1)] является необязательным. Если исходное состояние физической системы является неравновесным, то следует мгновенно (пока координаты х не успевают измениться) «включить в действие» некоторый новый гамильтониан отличающийся от первоначального и такой, чтобы распределение для него было равновесным. После этого можно применить все предыдущие рассуждения. Когда же процесс превращения тепловой энергии в работу будет закончен, следует мгновенно «выключить» перейдя к Энергетические затраты на «включение» и «выключение» гамильтониана взаимно компенсируются. Итак, независимо от условия равновесности информационное обобщение второго закона термодинамики формулируется:

Теорема 12.1. Если физическая система изолирована в тепловом отношении и о ней имеется количество информации I (неважно хартлиевское, больцмановское или шенноновское), то в ней возможны лишь такие процессы, для которых изменение суммарной энтропии превосходит При этом нижняя граница физически достижима.

При упоминании о тепловой изоляции здесь имеется в тепловая энергия, которую при указанных процессах можно превратить в работу, берется из самой системы т. е. термостат включен в 5.

Как известно, второй закон термодинамики является асимптотическим, не вполне точным. Он нарушается для процессов, связанных с тепловыми флюктуациями. Учитывая это обстоятельство, можно дать ему уточненную (ослабленную) формулировку: в теплоизолированной системе не могут происходить процессы, для которых приращение энтропии

Если энтропию брать в термодинамических единицах согласно (1.1.7), то в правой части (12.2.12), вместо 1, следует поставить постоянную Больцмана Тогда (12.2.12) примет вид Соответственно тому, как в уточненной формулировке, условие заменено более сильным неравенством можно изменить и формулировку теоремы 12.1. В уточненной формулировке она должна запрещать процессы, для которых

Член с здесь существен, если

Аналогичные уточнения можно ввести и в материал других параграфов, однако мы не будем на этом останавливаться.