Глава 10. ЦЕННОСТЬ ШЕННОНОВСКОЙ ИНФОРМАЦИИ ДЛЯ ВАЖНЕЙШИХ БЕЙЕСОВСКИХ СИСТЕМ

В данной главе общая теория, касающаяся ценности шенноновского количества информации и изложенная в предыдущей главе, применяется к ряду важных частных случаев бейесовских систем. Для этих систем здесь получены явные выражения, определяющие потенциал который позволяет в параметрической форме найти зависимость между потерями (риском) и количеством информации I и затем найти функцию ценности

Вначале рассматриваются те бейесовские системы, для которых пространство X является особенно простым, а именно состоящим из двух точек. При этом для решения третьей вариационной задачи требуется решать лишь несложное алгебраическое уравнение с одним неизвестным. В случае систем с однородной функцией штрафов (§ 10.2) для получения решения может быть применен метод преобразования Фурье или эквивалентный ему операторный метод.

Другие своеобразные (матричные) методы применяются в важном случае гауссовых бейесовских систем, характеризующихся гауссовым априорным распределением и билинейной функцией штрафов. Они позволяют получить решение задачи и рассмотреть зависимость активного подпространства от параметра или Особо рассмотрены различные (конечномерные и бесконечномерные) стационарные гауссовы системы, для которых функция ценности информации записывается в параметрической форме.

10.1. Система с двумя состояниями

1. Рассмотрим тот простой случай, когда пространство X значений случайной величины х состоит из двух точек Вероятности предполагаются заданными. Пространство возможных оценок и предполагаем более сложным, например возьмем в качестве него действительную ось. При этом функция штрафов с сведется к двум функциям от :

Уравнение (9.5.2) для данной бейесовской системы будет иметь вид

Эти соотношения представляют собой систему уравнений относительно двух неизвестных В предположении невырожденности матрицы указанные неизвестные определяются двумя уравнениями

т. e. пространство состоит из двух точек

Рассматриваемая бейесовская система относится к тому частному случаю, который был рассмотрен в § 9.5. Матрица (9.5.3) при этом имеет вид

Используя (9.5.4), находим потенциал

или

где

Дифференцируя потенциал по (при постоянных можно найти При помощи преобразования Лежандра

функции

результат можно записать

Неизвестные значения должны быть определены из дополнительных уравнений. Чтобы записать эти уравнения,

используем условие (9.4.27), соответствующее вариации области вариациям В силу (9.4.29) вариацию можно записать

где вариация соответствует вариации области проводимой без вариации параметра Подставляя (10.1.7) в (9.4.27), получаем условие

Поскольку вариации независимы, условие (10.1.8) дает два уравнения

Предполагая, что якобиан

преобразования (10.1.4) отличен от нуля, уравнения (10.1.9) можно заменить уравнениями

Дифференцируя (10.1.4), записываем их в явном виде

2. Рассмотрим для примера квадратичные функции штрафов

Вводя центрированную переменную приведем их к виду

В силу инвариантности относительно преобразования (9.6.7) эти функции можно заменить функциями

В данном случае согласно (10.1.4)

Значения должны быть определены из уравнений (10.1.9), (10.1.10). Вследствие симметрии функций (10.1.13) можно искать симметричные корни что сильно упрощает уравнения. Так функция (10.1.3) вследствие (10.1.14) принимает вид

где

Приравнивая нулю частную производную функции (10.1.15) по получаем уравнение для определения

Это трансцендентное уравнение имеет единственное положительное решение при После решения уравнения (10.1.16) определяется

Взяв частную производную от (10.1.15) по обычным способом получаем (учитывая

Удобно ввести параметр при помощи которого последние формулы запишутся так:

Выражая через логарифмы, последнее выражение можно представить в форме

Отсюда видно, что нулевая информация имеет место при значении Согласно (10.1.17) этому значению соответствуют потери так что

Исключай параметр из (10.1.19), (10.1.20), находим зависимость между ценностью V и количеством информации I в виде уравнения

изменении количества информации от 0 до ценность V меняется до (при этом Ф меняется от до 1).