Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
4.2. Некоторые асимптотические результаты статистической термодинамики. Устойчивость канонического распределенияНаиболее глубокие результаты теории информации и статистической термодинамики носят асимптотический характер, т. е. имеют вид предельных теорем при увеличении совокупной системы. Прежде чем рассматривать первую асимптотическую теорему теории информации, приведем родственный (как это видно из доказательства) результат статистической термодинамики, а именно: важную теорему об устойчивости канонического распределения. В случае одного параметра последнее имеет вид
Если под
где Следуя принятому в этой главе общему и формальному стилю изложения, сформулируем указанную теорему в абстрактном виде. Предварительно введем несколько дополнительных понятий. Назовем условное распределение
если
Пусть распределение (4.2.3) является каноническим:
Тогда вследствие (4.2.4) для совместного распределения (4.2.2) имеем
причем
Оно, очевидно, тоже является каноническим. Параметров Канонические внутренние параметры Нетрудно доказать, что если
Положим здесь
т. е. для «малой» системы (4.2.3) действительно выполнено условие каноничности (4.2.1), причем
Получение канонического «малого» распределения из канонического «большого» распределения, конечно, является естественным. Более глубоким является доказываемый ниже факт, что приближенно каноническое «малое» распределение получается также из неканонического «большого» распределения. Каноническая форма распределения является, следовательно, устойчивой в том смысле, что она получается асимптотически из различных «больших» распределений. Этим и объясняется большая роль канонического распределения в теории, в частности, в статистической физике. Теорема 4.3. Пусть заданы функции
Кроме того, задано распределение «большой» системы
где функции
распределение «малой» системы асимптотически переходит в распределение (4.2.7) при замене параметра
Вид функций Распределение типа (4.2.8) в статистической физике называется Доказательство. Пользуясь интегральным представлением дельта-функции
запишем «микроканоническое» распределение (4.2.8) в виде
и подставим это равенство в (4.2.9). В получающемся выражении
произведем суммирование по
где
Интеграл в (4.2.12) возьмем методом скорейшего спуска, используя то, что Определим седловую точку
Ввиду того, что точка оказывается зависящей от
которая при больших
Отсюда
Поскольку
и, следовательно, в точке
Проводя контур интегрирования через точку
равенством
Здесь, используя (4.2.16), значение
Подставляя это выражение в (4.2.12) и обозначая
получаем (4.2.10). Доказательство закончено. Первое равенство из (4.2.17) не обязательно принимать во внимание, так как функция Поскольку ряд членов в (4.2.17) в пределе
или Теорема 4.3 может быть обобщена в различных направлениях. Тривиально обобщение на тот случай, когда имеется не один, а несколько понимать в смысле скалярного произведения. При другом обобщении дельта-функция в формуле (4.2.8) может быть заменена другими функциями. Для применения теории к рассмотренной в § 3.2 задаче вычисления пропускной способности каналов без помех большую роль играют функции
а также функции типа
В самом деле, введение функции
эквивалентно введению условия Аналогично первое условие (3.2.7) соответствует введению функции
Желая охватить эти случаи, «микроканоническое» распределение (4.2.8) нужно заменить более общим распределением
Здесь
Такое обобщение потребует весьма незначительных изменений в доказательстве теоремы. Разложение (4.2.11) нужно заменить разложением (4.2.20), после чего в экспоненте в формуле (4.2.12) и других появится дополнительный член Результаты теоремы 4.3 допускают обобщение также в другом направлении. Можно не требовать того, чтобы в формулах (4.2.8), (4.2.19) не зависящий от А сомножитель условной вероятности
при разных
при Легко видеть, что случайные величины, равные расширяющимся суммам
независимых и одинаково распределенных случайных величин, являются канонически устойчивыми, так как для них Теорема 4.4. Пусть имеется последовательность вероятностных распределений
а
Предполагается, что уравнение (4.2.23) имеет корень, стремящийся при Доказательство аналогично доказательству теоремы 4.3. Разница лишь в том, что теперь дополнительно присутствует член
Седловая точка
корень которого асимптотически близок к корню а уравнения (4.2.23). Именно,
Прочие изменения не требуют пояснений. Приведенные в этом параграфе теоремы характеризуют большую роль канонических распределений подобно тому, как центральная предельная теорема характеризует роль гауссовых распределений. Этим, по существу, объясняется фундаментальное значение канонических распределений в статистической термодинамике.
|
1 |
Оглавление
|