4.2. Некоторые асимптотические результаты статистической термодинамики. Устойчивость канонического распределения

Наиболее глубокие результаты теории информации и статистической термодинамики носят асимптотический характер, т. е. имеют вид предельных теорем при увеличении совокупной системы. Прежде чем рассматривать первую асимптотическую теорему теории информации, приведем родственный (как это видно из доказательства) результат статистической термодинамики, а именно: важную теорему об устойчивости канонического распределения. В случае одного параметра последнее имеет вид

Если под понимать энергию системы — функцию Гамильтона, а полагать равной нулю, то указанное распределение принимает вид канонического распределения Гиббса:

где температура. Теорема об устойчивости этого распределения, т. е. о том, что оно получается из «микроканонического» распределения для совокупной системы, включающей термостат, известна под названием теоремы Гиббса.

Следуя принятому в этой главе общему и формальному стилю изложения, сформулируем указанную теорему в абстрактном виде.

Предварительно введем несколько дополнительных понятий. Назовем условное распределение

степенью распределения

если

Пусть распределение (4.2.3) является каноническим:

Тогда вследствие (4.2.4) для совместного распределения (4.2.2) имеем

причем

Оно, очевидно, тоже является каноническим.

Параметров может быть несколько, тогда под а В нужно понимать скалярное произведение

Канонические внутренние параметры для которых справедливо соотношение называются экстенсивными, а внешние соответствующие им параметры а — интенсивными.

Нетрудно доказать, что если степень распределения является канонической, то и само это распределение каноническое. В самом деле, используя (4.2.4) и определение каноничности для (4.2.2), получаем

Положим здесь Это даст

т. е. для «малой» системы (4.2.3) действительно выполнено условие каноничности (4.2.1), причем

Получение канонического «малого» распределения из канонического «большого» распределения, конечно, является естественным. Более глубоким является доказываемый ниже факт, что приближенно каноническое «малое» распределение получается также из неканонического «большого» распределения. Каноническая форма распределения является, следовательно, устойчивой в том смысле, что она получается асимптотически из различных «больших» распределений. Этим и объясняется большая роль канонического распределения в теории, в частности, в статистической физике.

Теорема 4.3. Пусть заданы функции которым соответствует каноническое распределение

Кроме того, задано распределение «большой» системы

где функции определяется из условия нормировки, А играет роль параметра. Тогда получаемое из него суммированием

распределение «малой» системы асимптотически переходит в распределение (4.2.7) при замене параметра Именно

Вид функций определяется нижеследующими формулами (4.2.17). Предполагается, что функция (4.2.13) дифференцируема достаточное число раз и что уравнение (4.2.15) имеет корень.

Распределение типа (4.2.8) в статистической физике называется икроканон ическим».

Доказательство. Пользуясь интегральным представлением дельта-функции

запишем «микроканоническое» распределение (4.2.8) в виде

и подставим это равенство в (4.2.9). В получающемся выражении

произведем суммирование по пользуясь формулой (4.1.10а). Это приводит к результату

где

Интеграл в (4.2.12) возьмем методом скорейшего спуска, используя то, что принимает большие значения.

Определим седловую точку из условия экстремума выражения, стоящего в экспоненте (4.2.12), т. е. из уравнения

Ввиду того, что точка оказывается зависящей от , удобно рассматривать также точку не зависящую от определяемую уравнением

которая при больших близка к Как следует из (4.2.14), (4.2.15)

Отсюда

Поскольку согласно (4.1.15) можно интерпретировать как дисперсию некоторой случайной величины, то

и, следовательно, в точке (а также в направление скорейшего спуска функции перпендикулярно действительной оси. В самом деле, если разность мнимая, то

Проводя контур интегрирования через точку в направлении скорейшего спуска, воспользуемся вытекающим из формулы

равенством

Здесь, используя (4.2.16), значение нужно выразить через произведя разложение в ряд по и учитывая требуемое число членов. Это приводит к результату

Подставляя это выражение в (4.2.12) и обозначая

получаем (4.2.10). Доказательство закончено.

Первое равенство из (4.2.17) не обязательно принимать во внимание, так как функция однозначно определяется функциями в силу условия нормировки.

Поскольку ряд членов в (4.2.17) в пределе исчезает, то предельное выражение (4.2.10) имеет вид

или как это следует из соображений нормировки.

Теорема 4.3 может быть обобщена в различных направлениях. Тривиально обобщение на тот случай, когда имеется не один, а несколько параметров При этом дельта-функцию в (4.2.8) нужно заменить на произведение дельта-функций, а выражение

понимать в смысле скалярного произведения. При другом обобщении дельта-функция в формуле (4.2.8) может быть заменена другими функциями. Для применения теории к рассмотренной в § 3.2 задаче вычисления пропускной способности каналов без помех большую роль играют функции

а также функции типа

В самом деле, введение функции в распределение

эквивалентно введению условия условия (3.2.1) при

Аналогично первое условие (3.2.7) соответствует введению функции

Желая охватить эти случаи, «микроканоническое» распределение (4.2.8) нужно заменить более общим распределением

Здесь заданная функция, имеющая спектральное представление

Такое обобщение потребует весьма незначительных изменений в доказательстве теоремы. Разложение (4.2.11) нужно заменить разложением (4.2.20), после чего в экспоненте в формуле (4.2.12) и других появится дополнительный член Это приведет к несущественному усложнению окончательных формул.

Результаты теоремы 4.3 допускают обобщение также в другом направлении. Можно не требовать того, чтобы в формулах (4.2.8), (4.2.19) не зависящий от А сомножитель пропорциональный

условной вероятности распадался на произведение сомножителей, тем более одинаковых. Однако для справедливости асимптотического результата тогда нужно ввести какое-то более слабое требование. Чтобы его сформулировать, введем понятие канонической устойчивости случайной величины. Назовем последовательность случайных величин описываемых распределениями вероятностей в пространстве не зависящем от канонически устойчивой относительно если значения их характеристических потенциалов

при разных неограниченно возрастают пропорционально друг другу (дружно стремятся к Последнее означает следующее:

при где некоторая функция, не зависящая от область значений для которых (4.2.21) имеет смысл].

Легко видеть, что случайные величины, равные расширяющимся суммам

независимых и одинаково распределенных случайных величин, являются канонически устойчивыми, так как для них Однако возможны и другие случаи канонически устойчивых семейств случайных величин. Формулируемая ниже теорема является поэтому обобщением теоремы 4.3.

Теорема 4.4. Пусть имеется последовательность вероятностных распределений такая, что последовательность случайных величин является канонически устойчивой. При помощи них строится совместное распределение

не зависящая от функция со спектром Тогда для получаемого из (4.2.22) суммированием по и распределения имеем выражение типа (4.2.10). В нем функции определяются соответствующими формулами наподобие (4.2.17); при функция а переходит в функцию, обратную функции

а переходит где

Предполагается, что уравнение (4.2.23) имеет корень, стремящийся при к некоторому пределу.

Доказательство аналогично доказательству теоремы

4.3. Разница лишь в том, что теперь дополнительно присутствует член и что выражение должно быть заменено на Вместо формулы (4.2.12), после суммирования по теперь будем иметь

Седловая точка определяется из уравнения

корень которого асимптотически близок к корню а уравнения (4.2.23). Именно,

Прочие изменения не требуют пояснений.

Приведенные в этом параграфе теоремы характеризуют большую роль канонических распределений подобно тому, как центральная предельная теорема характеризует роль гауссовых распределений. Этим, по существу, объясняется фундаментальное значение канонических распределений в статистической термодинамике.