Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
4.2. Некоторые асимптотические результаты статистической термодинамики. Устойчивость канонического распределенияНаиболее глубокие результаты теории информации и статистической термодинамики носят асимптотический характер, т. е. имеют вид предельных теорем при увеличении совокупной системы. Прежде чем рассматривать первую асимптотическую теорему теории информации, приведем родственный (как это видно из доказательства) результат статистической термодинамики, а именно: важную теорему об устойчивости канонического распределения. В случае одного параметра последнее имеет вид
Если под
где Следуя принятому в этой главе общему и формальному стилю изложения, сформулируем указанную теорему в абстрактном виде. Предварительно введем несколько дополнительных понятий. Назовем условное распределение
если
Пусть распределение (4.2.3) является каноническим:
Тогда вследствие (4.2.4) для совместного распределения (4.2.2) имеем
причем
Оно, очевидно, тоже является каноническим. Параметров Канонические внутренние параметры Нетрудно доказать, что если
Положим здесь
т. е. для «малой» системы (4.2.3) действительно выполнено условие каноничности (4.2.1), причем
Получение канонического «малого» распределения из канонического «большого» распределения, конечно, является естественным. Более глубоким является доказываемый ниже факт, что приближенно каноническое «малое» распределение получается также из неканонического «большого» распределения. Каноническая форма распределения является, следовательно, устойчивой в том смысле, что она получается асимптотически из различных «больших» распределений. Этим и объясняется большая роль канонического распределения в теории, в частности, в статистической физике. Теорема 4.3. Пусть заданы функции
Кроме того, задано распределение «большой» системы
где функции
распределение «малой» системы асимптотически переходит в распределение (4.2.7) при замене параметра
Вид функций Распределение типа (4.2.8) в статистической физике называется Доказательство. Пользуясь интегральным представлением дельта-функции
запишем «микроканоническое» распределение (4.2.8) в виде
и подставим это равенство в (4.2.9). В получающемся выражении
произведем суммирование по
где
Интеграл в (4.2.12) возьмем методом скорейшего спуска, используя то, что Определим седловую точку
Ввиду того, что точка оказывается зависящей от
которая при больших
Отсюда
Поскольку
и, следовательно, в точке
Проводя контур интегрирования через точку
равенством
Здесь, используя (4.2.16), значение
Подставляя это выражение в (4.2.12) и обозначая
получаем (4.2.10). Доказательство закончено. Первое равенство из (4.2.17) не обязательно принимать во внимание, так как функция Поскольку ряд членов в (4.2.17) в пределе
или Теорема 4.3 может быть обобщена в различных направлениях. Тривиально обобщение на тот случай, когда имеется не один, а несколько понимать в смысле скалярного произведения. При другом обобщении дельта-функция в формуле (4.2.8) может быть заменена другими функциями. Для применения теории к рассмотренной в § 3.2 задаче вычисления пропускной способности каналов без помех большую роль играют функции
а также функции типа
В самом деле, введение функции
эквивалентно введению условия Аналогично первое условие (3.2.7) соответствует введению функции
Желая охватить эти случаи, «микроканоническое» распределение (4.2.8) нужно заменить более общим распределением
Здесь
Такое обобщение потребует весьма незначительных изменений в доказательстве теоремы. Разложение (4.2.11) нужно заменить разложением (4.2.20), после чего в экспоненте в формуле (4.2.12) и других появится дополнительный член Результаты теоремы 4.3 допускают обобщение также в другом направлении. Можно не требовать того, чтобы в формулах (4.2.8), (4.2.19) не зависящий от А сомножитель условной вероятности
при разных
при Легко видеть, что случайные величины, равные расширяющимся суммам
независимых и одинаково распределенных случайных величин, являются канонически устойчивыми, так как для них Теорема 4.4. Пусть имеется последовательность вероятностных распределений
а
Предполагается, что уравнение (4.2.23) имеет корень, стремящийся при Доказательство аналогично доказательству теоремы 4.3. Разница лишь в том, что теперь дополнительно присутствует член
Седловая точка
корень которого асимптотически близок к корню а уравнения (4.2.23). Именно,
Прочие изменения не требуют пояснений. Приведенные в этом параграфе теоремы характеризуют большую роль канонических распределений подобно тому, как центральная предельная теорема характеризует роль гауссовых распределений. Этим, по существу, объясняется фундаментальное значение канонических распределений в статистической термодинамике.
|
1 |
Оглавление
|