Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
5.11. Энтропия комбинированного марковского процесса, условного процесса и части компонент марковского процесса1. На случай непрерывного времени могут быть обобщены результаты и методы, изложенные в § 5.3. Предполагается, что совокупный процесс
и марковскими, т. е. чтобы
Тогда будут справедливы соотношения
аналогичные соотношениям (5,3.1), (5.3.6), (5.2.5) дискретной версии. В случае непрерывного времени удобно ввести энтропийные плотности
Полагая в (5.11.1) сначала
Поделив
Аналогичное соотношение
справедливо, очевидно, и для другой пары энтропийных плотностей
В стационарном случае плотность
(и аналогично для другой пары
Можно доказать кроме того, что для плотности
Все эти утверждения распространяют на случай непрерывного времени соответствующие утверждения, доказанные в § 5.3. Обобщая методы § 5.3, можно вычислить энтропию Рассмотрим энтропию
в таком виде:
Тогда имеем
В силу условия Маркова
где обозначено
Подставляя (5.11.11) в (5.11.10), получаем формулу
Если апостериорную меру (5.11.12) запишется в виде
или
где усреднение М проводится только по случайным переменным Формулы (5.11.12), (5.11.12а) являются обобщением формул (5.3.15), (5.3.16) дискретной версии. Они справедливы при любых 2. Пусть теперь
Процесс Тогда при фиксированной реализации
Для получения плотности
В силу аддитивности (5.11.2), (5.11.9) тем самым найдена энтропийная плотность Другие энтропийные плотности Описанный выше процесс При малых
Подставляя это выражение в (5.11.11) и для краткости обозначая
Согласно (5.11.10), (5.11.12) следует взять логарифм от последнего выражения. При его логарифмировании нужно оставить лишь следующие члены:
Усреднение его будем проводить в несколько этапов: сначала усредним по
так что
Дальнейшее усреднение приведет к результату
Совершая предельный переход
Найти входящее сюда распределение
Указанные результаты справедливы как в стационарном, так и в нестационарном случае. В стационарном случае функции По аналогии с (5.3.17) вместо
Итак, удельная энтропия Пример. Пусть
Процесс Тогда формула (5.11.15) дает
или
если учесть (5.9.7). Сумма выражений (5.11.19), (5.11.20) дает удельную энтропию Перейдем к вычислению удельной энтропии
Подставляя это выражение в (5.11.17), имеем
Нетрудно понять, что усреднение апостериорных вероятностей
и формулу (5.11.21) можно преобразовать к виду
или
Процесс
вытекающее из (5.11.18). Приравнивая производную
Входящий в выражение (5.11.22) интеграл с этой плотностью распределения был вычислен в [4] и оказался равным
где Подстановка (5.11.24) в (5.11.22) решает задачу вычисления удельной энтропии 3. Изложенный выше вывод формулы (5.11.17) применим и в других случаях, например, когда процесс
описывается вектором сносов Тогда по аналогии с (5.11.17) справедлива формула
где усреднение
которая удовлетворяет полученному в указанной монографии [4] уравнению
Второе усреднение в (5.11.25) соответствует усреднению по марковскому процессу 4. До сих пор процесс Пусть
В данном случае энтропия процесса В принципиальном отношении соответствующий расчет может быть проведен так же, как и в п. 2. Воспользуемся формулой (5.11.12), выбирая теперь в качестве меры
Подставляя это выражение в (5.11.12), находим
Здесь, в первую очередь, произведено усреднение Из (5.11.27) вытекает следующая формула для энтропийной плотности:
Отличие этой формулы от формулы
(т. е. от формулы (5.9.4), взятой при
и имеется усреднение не по Формулу (5.11.28) интересно сравнить с условной энтропией
Это выражение мы записали по аналогии с (5.11.29), считая значение Изложенный метод вычисления плотности энтропии Из вышеизложенного видно, что описанный метод вычисления энтропии для части компонент марковского процесса имеет широкую область применения. В нем наиболее трудным этапом является отыскание распределения
|
1 |
Оглавление
|