6.3. Условная информация. Иерархическая аддитивность информации

1. Если имеется несколько случайных величин то по аналогии с формулой (6.2.5) можно определить условную информацию связи, взяв вместо безусловных условные вероятности:

или

Результат частичного или полного усреднения обозначим так:

Подставляя сюда (6.3.1) или (6.3.2), будем иметь

Мы видим, что информации, условные или безусловные, могут быть выражены через соответствующие энтропии, условные или безусловные.

Поскольку энтропия обладает свойством иерархической аддитивности (§ 1.3), то аналогичным же свойством обладает и информация. Пусть х в формуле (6.2.1) содержит несколько составляющих Тогда к энтропиям можно применить формулу иерархической аддитивности (1.3.4), что даст

Взяв в соответствии с (6.2.1) разность и группируя члены попарно, имеем

Но каждая разность в силу (6.3.4) есть не что иное, как условная информация Следовательно,

Нетрудно понять, что такая же формула справедлива и для условной информации

Предположим теперь, что вторая случайная величина также является составной: Тогда, применяя формулу (6.3.6) к каждой информации будем иметь

Следовательно, из (6.3.5) получим формулу, содержащую двойное суммирование:

Согласно этой формуле вклад в информацию дают всевозможные пары Конечно, фактический, ненулевой вклад дают лишь те пары которые не являются статистически независимыми случайными величинами.

Рассмотрим, например, информацию связи где величина х статистически связана лишь с лишь с Тогда в сумме (6.3.7) вместо четырех будет только два члена:

Здесь если т. е. если и и не зависят от

Подобно тому как в случае энтропии свойство иерархической аддитивности справедливо не только для средних энтропий (1.3.4), но и для случайных энтропий (1.3.6), так и в случае информаций связи соотношения, аналогичные могут быть записаны для случайных информаций. Так, например,

Это обоснование совершенно аналогично предыдущему при использовании (1.3.6) вместо (1.3.4).

2. Условные информации связи (6.3.3) являются неотрицательными, что может быть выведено, например, из формул (6.3.4) при учете теорем 1.6, 1.6а. Это обстоятельство позволяет получить из формул иерархической аддитивности (6.3.5), (6.3.7) различные неравенства. Именно, информация или стоящая в левой части, не меньше суммы любой части членов, входящих в правую часть равенства. Проиллюстрируем это на простом примере, когда рассматривается информация связи пары случайных величин с величиной у. Формула (6.3.5) дает Поскольку , отсюда имеем неравенство

Знак равенства

имеет место в том и только в том случае, когда

Это условие выполняется, если

Последнее равенство есть условие марковской связи тройки

Из (6.3.7) можно также получить соотношение

Итак, мы видим, что информация связи заданных случайных величин не меньше информации связи части указанных величин. Это аналогично неравенству для энтропии (так как . Между тем соотношение не имеет своего аналога для информации. Неравенство в общем случае не имеет места.

Пример 1. Пусть х, у, z - случайные величины с двумя значениями, описываемые вероятностями

Тогда

По формуле (6.3.4) имеем

В то же время

Следовательно,

так что

Из (6.3.13), (6.3.14) находим разность

Пример 2. Предположим теперь, что случайные величины с двумя значениями описываются вероятностями

В этом случае

Далее, поскольку

то

Следовательно,

На знак разности в этих примерах оказала влияние выпуклость функции В самом деле, для выпуклой функции имеем

значения же 3/8, 7/24 есть не что иное, как среднее:

Вследствие (6.3.17) разность положительна, а (6.3.16) отрицательна.

Итак, мы убедились, что знак указанной разности может быть любым.

3. Способ определения (6.2.1) парной информации связи двух случайных величин можно обобщить так, чтобы определить информацию связи трех или большего числа случайных величин. Определим тройную информацию связи формулой

Подставляя сюда (6.3.4) и выражая условные энтропии через безусловные, будем иметь

или

Очевидна симметрия этой формулы относительно т. е. ее инвариантность при перестановках этих случайных величин. Формулой

которая аналогична (6.3.20), определяем случайную тройную информацию. Учитывая, что получаем из (6.3.21) следующую формулу для трехкратного закона распределения:

Она является обобщением формулы (6.2.7).

В рассмотренных выше примерах случайная информация (6.3.21) такова:

(при информация не определена) для примера 1 и

для примера 2. Среднее же соответственно равно 0,183 бита и —0,04 бита в силу (6.3.15), (6.3.16).

Таким образом, неотрицательность тройной корреляции не является обязательной.

По аналогии с формулой (6.3.19) строится информация связи и для большего числа случайных величин. В общем случае -кратная информация связи определяется формулой

где суммирование производится по всевозможным несовпадающим парам членов), тройкам членов) и другим сочетаниям индексов

Можно доказать, что информация связи (6.3.22) записывается аналогично (6.3.18) в виде разностн безусловной и условной информации меньшей кратности

Доказательство эквивалентности формул (6.3.22) и (6.3.23) целесообразно проводить по индукции. Из выражения, стоящего в правой части (6.3.22), следует вычесть выражение для условной информации

Анализируя члены, входящие в получившееся выражение, и учитывая равенство

убеждаемся, что это выражение совпадает с суммой в правой части формулы (6.3.22), если в последней заменить на Равенство (6.3.22) справедливо для следовательно, оно будет справедливо и для больших значений

В случае высоких кратностей, начиная с рассмотренной выше тройной связи, уже нельзя высказать определенных суждений о неотрицательности информации, о которой шла речь в случае парной информации.