Главная > Теория информации
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

9.1. Уменьшение средних штрафов при уменьшении неопределенности

Польза, приносимая информацией, заключается в том, что она позволяет уменьшить потери, связанные со средними штрафами. Предполагается, что в условии задачи указана функция штрафов, которая по-разному штрафует различные действия и решения, принимаемые действующим лицом. За более удачные действия назначаются меньшие штрафы или большие награды, чем за менее удачные. Цель заключается в минимизации средних штрафов. Имеющаяся в распоряжении информация позволяет добиться меньшего уровня средних потерь.

Прежде чем переходить к математической формулировке сказанного, рассмотрим в этом параграфе, носящем подготовительный характер, более простую задачу (типа первой вариационной задачи), иллюстрирующую тот факт, что высокая неопределенность в системе (негинформация), действительно, повышает уровень потерь.

Пусть имеется система с дискретными возможными состояниями. В действительности осуществляется одно из возможных состояний и величина описывающая состояние, принимает одно определенное значение. Пусть в соответствии с назначением системы указана функция штрафа с Если, например, требуется, чтобы система придерживалась вблизи нулевого состояния (задача стабилизации), то может быть взята, скажем, функция штрафа с

По каким-либо причинам пусть в данной задаче невозможно обеспечить идеальное равенство Например, вследствие неизбежных флюктуаций в составных частях системы, в ней присутствует статистический разброс, т. е. имеет место неопределенность — негинформация. При этом величина будет случайной и будет описываться некоторыми вероятностями Мерой неопределенности, как известно, является энтропия

Будем предполагать, что количество неопределенности зафиксировано, и рассмотрим, какие при этом возможны средние штрафы

Существует некоторый нижний предел для этих штрафов, который может быть найден теми же методами, что и в § 3.2, 3.3,

3.6. В самом деле, там уже решалась задача на экстремум средних штрафов при условии фиксированной энтропии (первая экстремальная задача). Напомним решение этой задачи. Оптимальное распределение вероятностей имеет вид

где

[см. (3.3.5)]. Параметр определяется из условия фиксированной энтропии (9.1.1). Согласно (3.3.15) имеем

После определения параметра (3 или Т минимальные средние штрафы определяются по формуле

Указанные формулы позволяют проследить, как минимальные средние штрафы зависят от неопределенности в системе. Согласно теореме 3.4 потери при возрастают с ростом энтропии Пусть теперь имеется приток информации, уменьшающий энтропию согласно (1.1.2). Если сначала в системе была негинформация и вследствие притока информации I она уменьшилась до величины — то, очевидно, это привело к уменьшению потерь

Указанная разность говорит о той пользе, которую принесла информация Она есть количественная мера ценности информации.

Будем предполагать малой величиной. Тогда из (9.1.6) будем иметь

Таким образом, производную можно считать дифференциальной ценностью уменьшения энтропии (дифференциальной ценностью информации).

Пример 1. Пусть может принимать целые значения а штрафом служит функция с Обозначая находим для этой задачи статистическую сумму

Следовательно,

Принимая во внимание формулу находим энтропию

Это уравнение позволяет определить и, следовательно, параметры Используя выражения (9.1.8), (9.1.9), дающие параметрическое представление зависимости нетрудно построить график этой зависимости.

Рис. 9.1. Средние потери и дифференциальная ценность информации как функции от энтропии (пример 1).

Используя (9.1.9), нетрудно найти и дифференциальную ценность

Поведение функции и дифференциальной ценности представлено на рис. 9.1.

Пример 2. Предположим, что принимает одно из 8 значений —3, —2, —1, 0, 1,2, 3, 4, а функция штрафа с такая же, что и раньше. Тогда

и поэтому

Вместо формулы (9.1.9) теперь получаем

Зависимость от соответствующая формулам (9.1.11), (9.1.12), представлена на рис. 9.2. Нулевой энтропии соответствуют значения:

Рис. 9.2. Средние потери для примера 2 (Н в битах).

С ростом температуры Т энтропия и потери монотонно возрастают. В пределе мы имеем максимально возможную энтропию

и средние потери

которые соответствуют равномерному распределению

Как было отмечено, уменьшение неопределенности в системе может быть достигнуто приобретением информации. При этом количество информации мыслилось просто как разность двух энтропий одной переменной Между тем, согласно сказанному в гл. 6, количество информации является более сложным понятием, предполагающим существование двух случайных величин х, у (а не одной Должна быть случайная величина х, о которой передается информация, и случайная величина у, которая несет эту информацию. Это заставляет усложнить приведенные в настоящем параграфе рассуждения, перейдя от простой (первой) вариационной задачи к усложненной вариационной задаче, которую будем называть третьей вариационной задачей теории информации.

1
Оглавление
email@scask.ru