Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
5.7. Энтропия гауссового процесса в непрерывном времени1. Гауссов случайный процесс Разница лишь в том, что теперь вектор представляет собой заданную на интервале теперь является функцией двух переменных
вектора Разумеется, указанные выражения теперь не обязаны быть конечными. Условие их конечности связано с условием абсолютной непрерывности меры Р относительно меры При обобщенном понимании векторов и матриц формулы (5.4.8а), (5.4.13) справедливы как для конечных, так и для бесконечных интервалов Для этой цели может быть применен прием, использованный в
которая помимо стационарности будет обладать еще свойством периодичности. Формула (5.7.1) аналогична формуле (5.5.14). Такую корреляционную функцию имеет процесс
в пределе при Стационарная периодическая матрица
При этом собственные значения
Если учесть (5.7.1), то отсюда будем иметь
где через
процесса Подставляя (5.7.2) в (5.4.8а), получаем
Перейдем к энтропии
где
по аналогии с (5.7.2), (5.7.3). Второй член в правой части (5.4.13) после диагонализации примет вид
Поскольку
то из (5.4.13) вследствие (5.7.5), (5.7.7) будем иметь
Сумма по
Поэтому при выполнении условий
энтропия (5.7.8) оказывается конечной, что свидетельствует об абсолютной непрерывности меры Р относительно 2. Перейдем к вычислению удельной энтропии для стационарного процесса, заданного на бесконечной временной оси. Поскольку замена
Итак, в полученных формулах следует совершить предельный переход
а (5.7.8) даст
Эти результаты можно получить также из формул (5.5.17), (5,5.18), определяющих удельную энтропию стационарных последовательностей как предельный результат при неограниченном уплотнении точек на временной оси. Выбрав точки
и те же средние значения
т. е. функции
Относя энтропию не к одному элементу последовательности, а к единице времени, имеем
Подставляя сюда (5.5.17), (5.5.18) при учете равенства (5.7.12) и аналогичного равенства для
Формула (5.7.14) совпадает с (5.7.11),
Учитывая, что согласно
Определим теперь меру
Тогда первый член в (5.7.15) будет отнесен к мере
Соответственно этому формула (5.5.17) заменится формулой
а из последней по аналогии с (5.7.13) получим
Здесь подынтегральное выражение стремится к нулю при
(с — некоторое число). Таким образом, мы получаем для удельной энтропии
При выполнении этих условий мера Р является абсолютно непрерывной относительно специальным образом сконструированной меры Условие сходимости другого интеграла (5.7.11) в верхнем пределе имеет вид
аналогичный (5.7.9). Оно является необходимым условием абсолютной непрерывности меры Р относительно Если для меры
Сходство последней с (5.7.18) является очевидным, различие заключается лишь в выборе подынтегральной функции. Пример 1. Пусть имеется стационарный гауссов процесс со спектральной плотностью
Вычислим для него удельные энтропии. Поскольку
Применяя далее формулу (5.7.20), находим
Граничная энтропия Г, входящая в соотношения (5.6.17), (5.6.18), может быть вычислена методом, который предложен Стратоновичем [61. Для данного примера она оказывается такой:
Пример 2. Пусть теперь рассматриваемый процесс имеет спектральную плотность
Тогда интеграл в (5.7.14) сведется к интегралам, стоящим в (5.7.21) (при
При выборе спектральной плотности (5.7.22) мера 3. Для стационарного гауссового процесса, как и для гауссовой последовательности (см. § 5.4., п. 3), из линейного роста дисперсии
Чтобы его вычислить, нужно применить формулу (5.4.17). Диагонализуя входящие в нее матрицы, нетрудно получить (подобно тому, как из (5.4.13) было получено выражение
Оно является обобщением на случай непрерывного времени равенства (5.5.22). Условие конечности интеграла в (5.7.24), очевидно, связано с указанным ранее условием (5.7.19а). Таким образом, условие энтропийной устойчивости для гауссовых мер оказывается тесно связанным с условием абсолютной непрерывности меры Р относительно Вышеизложенное может быть обобщено и на случай нескольких стационарных и стационарно связанных процессов
Так, если мера
Очевидна аналогия этой формулы с (5.5.20).
|
1 |
Оглавление
|