Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
5.7. Энтропия гауссового процесса в непрерывном времени1. Гауссов случайный процесс Разница лишь в том, что теперь вектор представляет собой заданную на интервале теперь является функцией двух переменных
вектора Разумеется, указанные выражения теперь не обязаны быть конечными. Условие их конечности связано с условием абсолютной непрерывности меры Р относительно меры При обобщенном понимании векторов и матриц формулы (5.4.8а), (5.4.13) справедливы как для конечных, так и для бесконечных интервалов Для этой цели может быть применен прием, использованный в
которая помимо стационарности будет обладать еще свойством периодичности. Формула (5.7.1) аналогична формуле (5.5.14). Такую корреляционную функцию имеет процесс
в пределе при Стационарная периодическая матрица
При этом собственные значения
Если учесть (5.7.1), то отсюда будем иметь
где через
процесса Подставляя (5.7.2) в (5.4.8а), получаем
Перейдем к энтропии
где
по аналогии с (5.7.2), (5.7.3). Второй член в правой части (5.4.13) после диагонализации примет вид
Поскольку
то из (5.4.13) вследствие (5.7.5), (5.7.7) будем иметь
Сумма по
Поэтому при выполнении условий
энтропия (5.7.8) оказывается конечной, что свидетельствует об абсолютной непрерывности меры Р относительно 2. Перейдем к вычислению удельной энтропии для стационарного процесса, заданного на бесконечной временной оси. Поскольку замена
Итак, в полученных формулах следует совершить предельный переход
а (5.7.8) даст
Эти результаты можно получить также из формул (5.5.17), (5,5.18), определяющих удельную энтропию стационарных последовательностей как предельный результат при неограниченном уплотнении точек на временной оси. Выбрав точки
и те же средние значения
т. е. функции
Относя энтропию не к одному элементу последовательности, а к единице времени, имеем
Подставляя сюда (5.5.17), (5.5.18) при учете равенства (5.7.12) и аналогичного равенства для
Формула (5.7.14) совпадает с (5.7.11),
Учитывая, что согласно
Определим теперь меру
Тогда первый член в (5.7.15) будет отнесен к мере
Соответственно этому формула (5.5.17) заменится формулой
а из последней по аналогии с (5.7.13) получим
Здесь подынтегральное выражение стремится к нулю при
(с — некоторое число). Таким образом, мы получаем для удельной энтропии
При выполнении этих условий мера Р является абсолютно непрерывной относительно специальным образом сконструированной меры Условие сходимости другого интеграла (5.7.11) в верхнем пределе имеет вид
аналогичный (5.7.9). Оно является необходимым условием абсолютной непрерывности меры Р относительно Если для меры
Сходство последней с (5.7.18) является очевидным, различие заключается лишь в выборе подынтегральной функции. Пример 1. Пусть имеется стационарный гауссов процесс со спектральной плотностью
Вычислим для него удельные энтропии. Поскольку
Применяя далее формулу (5.7.20), находим
Граничная энтропия Г, входящая в соотношения (5.6.17), (5.6.18), может быть вычислена методом, который предложен Стратоновичем [61. Для данного примера она оказывается такой:
Пример 2. Пусть теперь рассматриваемый процесс имеет спектральную плотность
Тогда интеграл в (5.7.14) сведется к интегралам, стоящим в (5.7.21) (при
При выборе спектральной плотности (5.7.22) мера 3. Для стационарного гауссового процесса, как и для гауссовой последовательности (см. § 5.4., п. 3), из линейного роста дисперсии
Чтобы его вычислить, нужно применить формулу (5.4.17). Диагонализуя входящие в нее матрицы, нетрудно получить (подобно тому, как из (5.4.13) было получено выражение
Оно является обобщением на случай непрерывного времени равенства (5.5.22). Условие конечности интеграла в (5.7.24), очевидно, связано с указанным ранее условием (5.7.19а). Таким образом, условие энтропийной устойчивости для гауссовых мер оказывается тесно связанным с условием абсолютной непрерывности меры Р относительно Вышеизложенное может быть обобщено и на случай нескольких стационарных и стационарно связанных процессов
Так, если мера
Очевидна аналогия этой формулы с (5.5.20).
|
1 |
Оглавление
|