Приложение. НЕКОТОРЫЕ МАТРИЧНЫЕ (ОПЕРАТОРНЫЕ) ТОЖДЕСТВА

П.1. Правила переноса оператора слева направо

Пусть заданы две произвольные не обязательно квадратные матрицы такие, чтобы произведения и имели смысл. На языке операторов это означает следующее: если А переводит элемент пространства X в элемент пространства то В переводит элемент пространства в элемент пространства X, т. е. задает обратное отображение. При широких предположениях относительно функции справедлива формула

Докажем ее в предположении, что функция представима разложением Тейлора

где или (Большое число обобщений может быть получено предельным переходом где последовательность подходящих представимых функций).

Подставляя , убеждаемся, что как правая, так и левая часть равенства обращаются в одно и то же выражение

Это доказывает равенство .

Матрицы и имеют, вообще говоря, разную размерность, являются операторами, действующими в различных пространствах (первый в второй в X). То же самое относится и к матрицам и Сравним, однако, их следы. Пользуясь разложением , имеем

Но , а значит и . Поэтому все члены в , кроме первого, совпадают. Первые члены в общем случае не совпадают, так как оператор в разложении функции и тот же оператор в разложении кратен единичной матрице различных

размерностей. Если же выполнено условие

то, следовательно,

Если бы мы интересовались детерминантами, то для соответствующего равенства

вместо имели бы условие так как

П.2. Детерминант составной матрицы

Требуется вычислить детерминант матрицы

где квадратные, а не обязательно квадратные матрицы. Матрицу предполагаем невырожденной. Обозначим

(1 и 0 здесь матрицы) и, следовательно,

Непосредственным перемножением легко проверить, что

Поэтому дает Подставляя это равенство в (П.2.2), получаем

Аналогично, если существует, то

Согласно указанным формулам задача вычисления исходного детерминанта сводится к задаче вычисления детерминантов меньшей размерности.