8.8. Аддитивные каналы

1. Пусть одинаковые линейные пространства. Канал называется аддитивным, если и если плотность зависит лишь от разности Это значит, что получается прибавлением к х случайной величины имеющей плотность распределения Предполагая, что рассмотрим те упрощения, которые вносит предположение об аддитивности в теорию, изложенную в § 8.2, 8.3.

Уравнение (8.3.5) при этом записывается в форме

где теперь не зависит от х. Ему можно также придать вид

Здесь применен непрерывный вариант записи: если рассматриваемое линейное пространство дискретно, то под плотностями распределения нужно понимать сумму дельта-функций, сосредоточенных в точках решетки. Указанное уравнение можно разрешить относительно функции

используя метод преобразования Фурье. Изложим эквивалентный этому методу операторный метод.

Введем характеристическую функцию

(вообще вектор).

Поскольку в силу (8.8.3)

то преобразование

очевидно, можно записать в операторной форме

Сравнивая (8.8.4) с (8.3.2), видим, что в данном случае оператор имеет вид

Отсюда находим обратный оператор

При помощи этого оператора задача отыскания пропускной способности и экстремального распределения решается в соответствии с формулами § 8.3.

Оператор, транспонированный по отношению к (8.8.5), таков:

Поэтому

Формула (8.3.7) при помощи операторов (8.8.5), (8.8.6) записывается в виде

Конструируем также некоторые другие формулы § 8.3. Соотношения (8.3.10) принимают вид -Поэтому из (8.3.11) получаем потенциалы

Отсюда в соответствии с (8.2.13), (8.2.14) имеем

Эти формулы в принципе дают решение задачи.

2. Пример 1. Пусть х - одномерное непрерывное пространство, функция четвертой степени:

а распределение гауссово:

Тогда

и, следовательно,

так как отличны от нуля лишь производные

Формулы (8.3.11), (8.8.8) с учетом (8.8.10) дают:

Учитывая, что в данном случае

и вводя обозначения

при помощи формул (8.2.18), (8.2.19), (8.8.11) или при помощи (8.8.9) получаем

Пример 2. Пусть теперь

распределение, имеющее характеристическую функцию

которое необязательно гауссово, но симметрично: Поскольку

теперь имеем

вследствие указанной симметрии. Вычисляем для этого случая статистический интеграл:

Формулы (8.2.18), (8.2.19) при этом дают

Здесь новый параметр, заменяющий

3. Гауссовы каналы, исследованные в § 8.6, являются частными случаями аддитивных каналов, если в качестве фигурирующего

там пространства X рассматривать пространство, образованное точками или если преобразование тождественное (будем предполагать последнее). В этом частном случае функции с являются квадратичными:

(матричная запись), и преобразование сводится к следующему:

Действительно, так что

а прочие более высокие производные обращаются в нуль. Потенциалы (8.8.8) при этом легко вычислить, пользуясь формулой (5.3.19), что дает

Поскольку

то формулы (8.2.18), (8.2.19) приводят к результату

Ввиду того, что совпадает с размерностью пространства, а матрица в данном случае не отличается от (так как то равенства (8.8.14) согласуются с найденными ранее формулами (8.6.25), (8.6.27).