8.7. Стационарные гауссовы каналы

1. Стационарным каналам свойственна инвариантность относительно преобразования сдвига по индексу (времени):

где произвольно. Пространства предполагаются имеющими одинаковую размерность. В таких каналах матрицы зависят лишь от разности индексов

Рассмотрим сначала пространства конечной размерности Для строгой стационарности в этом случае функции входящие в (8.7.1), должны быть периодичны по с периодом, равным

Матрицы (8.7.1) удобно привести к диагональному виду унитарным преобразованием

где

[см. (5.5.8)]. Ёго унитарность легко проверить. Эрмитово-сопряженный оператор

как показано в § 5.4, действительно совпадает с обратным оператором Преобразованная матрица

и прочие будут диагональны:

причем

После указанного преобразования помехи будут независимыми, и данный канал будет напоминать канал, рассмотренный в предыдущего параграфа.

Матрица (8.6.20) будет иметь вид

Поскольку она должна быть невырожденна в пространстве X, то пространство X должно строиться лишь на тех компонентах для которых Прочие компоненты не следует рассматривать.

Матрица (8.6.22) принимает вид

Условие ее положительной определенности еще более суживает подпространство и оставляет лишь те компоненты, для которых

Вследствие (8.7.6) формулы (8.6.27), (8.6.25) дают

Не представляет труда также записать функцию

позволяющую оценить вероятность ошибки.

2. Приведенные формулы допускают обобщение также на случай бесконечномерного пространства Пусть, например, х есть случайная функция на отрезке

Канал, как и раньше, предполагается строго стационарным, т. е. матрицы которые теперь имеют вид с и по аналогии с (8.7.2) удовлетворяют соотношениям

Рассматривая -разбиение интервала (0, То) точками мы можем положить

и применить предыдущую теорию.

Формулы (8.7.7) теперь можно записать

и аналогично для Выражение в правой части при А 0 стремится к пределу

поэтому приближенно равно с

Аналогично

где

При этом

Учитывая (8.7.15) в пределе получаем

и аналогично

где суммирование идет по области с Эти формулы можно было бы получить, минуя предельный переход и непосредственно рассматривая интегральное унитарное преобразование

Эти величины образуют компоненты Фурье исходной функции и оказываются в стационарном случае независимыми.

3. Другим случаем бесконечномерного пространства является тот случай, когда представляет собой процесс в дискретном времени, но на бесконечном интервале. Тогда условия периодичности (8.7.2) отпадают. Соответствующие результаты могут быть получены из формул предельным переходом Преобразование (8.7.4) теперь удобно брать в форме

а вместо (8.7.6) писать

полагая Формула (8.7.7) при этом запишется в виде

и сохранит значение при

Суммы в формулах в пределе переходят в интегралы. В самом деле, из соотношения следует Поэтому равенство (8.7.8) можно записать

Поделив обе части равенства нати перейдя к пределу, будем иметь

и аналогично

Чтобы найти надо исключить отсюда Т.

4. Рассмотрим, наконец, тот случай, когда х есть процесс в непрерывном времени и на бесконечном интервале. Формулы для такого случая можно получить из результатов дополнительным предельным переходом

При То аргументы в формулах все больше сгущаются, поскольку — Поделив (8.7.16) на в пределе, имеем

Аналогично

Здесь в соответствии с (8.7.12), (8.7.14) с спектры функций с спектральная плотность помех:

Аналогичным образом из (8.7.10) находим удельную (рассчитанную на единицу времени) функцию

Преобразование диагонализирующее матрицы с, теперь имеет вид интеграла Фурье

Интегралы в полученных формулах предполагаются сходящимися.

5. Формулы, относящиеся к непрерывному и дискретному времени, имеют общую область применимости: это те случаи, когда при непрерывном времени спектры отличны от нуля лишь в конечной полосе частот. Как известно, при этом процесс протекающий в непрерывном времени, эквивалентен последовательности значений в дискретные моменты времени (теорема Котельникова). Соответствующий интервал обозначим

тогда Поскольку

то в (8.7.4) можно считать, что пробегает значения не от 1 до до где любое целое число. В частности, можно взять или Соответственно этому можно считать, что в формулах пробегает значения не от 0 до а, скажем, от до

Сравним теперь формулы [см. (8.7.13)] и (8.7.19). Очевидно, что связаны соотношением

При этом интервал эквивалентен частотному интервалу

Если спектры сосредоточены лишь в этом интервале, то, учитывая (8.7.26), видим, что формулы (8.7.21), (8.7.23) эквивалентны друг другу, поскольку в силу (8.7.25), а также

согласно (8.7.7), (8.7.13), (8.7.20), (8.7.23а).

Указанное совпадение имеет место и для других формул. Неравенство (8.7.27) дает связь между шириной частотного интервала и временным интервалом

6. В заключение параграфа обсудим формулу (8.6.46) при больших или Очевидно можно ввести удельный коэффициент при дискретном времени или при непрерывном. Тогда вместо (8.6.46) будет иметь место асимптотическая оценка

точнее

Вероятность ошибки будет стремиться к нулю при или даже если Соответствующий удельный коэффициент или будет находиться из уравнений, аналогичных, скажем, (8.6.47), если в них перейти к удельным величинам

Так, в случае непрерывного времени вместо (8.6.47) будем иметь

Формула (8.6.48), очевидно, примет вид

Существенным является условие конечности входящего сюда интеграла.

В приведенном выше рассмотрении конечным соответствовал строго стационарный периодический (с периодом или процесс. Полученные нами предельные формулы (при будут теми же самыми, если для конечных рассматривать отрезки процесса, стационарного лишь для бесконечных То подобно тому, как это делалось в § 5.5, 5.7.