12.1. Информация о физической системе, находящейся в состоянии термодинамического равновесия. Обобщенный второй закон термодинамики

В теории ценности информации (гл. 9) рассматривается информация о координате х, которая является случайной величиной, имеющей закон распределения В настоящем параграфе, чтобы выявить связь теории информации с законами термодинамики, будем предполагать, что х является непрерывной координатой физической системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия. Энергия системы предполагается известной функцией от этой координаты. Будем рассматривать состояние, соответствующее температуре Т. В этом случае распределение определяется формулой Больцмана-Гиббса

где

— свободная энергия системы. Температура Т берется в энергетических единицах, при которых постоянная Больцмана равна 1.

Удобно предполагать, что имеется термостат с температурой Т и указанное распределение устанавливается в результате длительного контакта с этим термостатом.

С точки зрения общей теории ценности информации распределение (12.1.1) является специальным случаем распределения вероятностей, входящих в определение бейесовской системы. На него, естественно, распространяются общие результаты, полученные в гл. 9 и 10 для произвольных бейесовских систем. Кроме этого, физический характер рассматриваемой системы позволяет исследовать особые явления, связанные со вторым законом термодинамики. Нас будет интересовать здесь возможность превращения тепловой энергии в механическую, обусловленная приходом информации о координате х.

При определении ценности хартлиевского и больцмановского количества информации (§ 9.2 и 9.6), предполагалось, что поступающая информация о значении х имеет простой вид. Указывается, какой именно области из заданного разбиения пространства X значений х принадлежит точка х. При этом поступившая информация эквивалентна указанию номера области Покажем, что такая информация действительно позволяет переводить

тепловую энергию в механическую. При указании области априорное распределение (12.1.1) переходит в апостериорное распределение

где

— условная свободная энергия. Поскольку известно, что х находится в области эту область можно окружить непроницаемыми стенками, вводя вместо энергетической функции функцию

Распределение (12.1.3) есть как раз равновесное распределение типа (12.1.1) для такой функции.

Затем будем медленно раздвигать стенки, окружающие область до тех пор, пока они не уйдут в бесконечность. На стенки действует давление, сила давления при раздвижении стенок будет совершать работу. Энергия в форме механической работы будет поступать ко внешним телам, механически связанным со стенками. Эта энергия равна хорошо известному в термодинамике интегралу типа

Дифференциал работы можно получить, варьируя область в выражении (12.1.4). При расширении области до области ко внешним телам переходит механическая энергия

В силу медленности раздвижения указанный энергетический переход совершается без изменения температуры системы. Это имеет место вследствие притока тепловой энергии из термостата, контакт с которым не должен прерываться. Тогда источником уходящей из системы механической энергии будет тепловая энергия термостата, которая будет превращаться в механическую работу. Чтобы подсчитать полную работу , нужно просуммировать дифференциалы (12.1.6). При уходе стенок в бесконечность область совпадает со всем пространством X, а свободная энергия с (12.1.2). Поэтому полная работа равна разности свободных энергий (12.1.2) и (12.1.4)

Если проинтегрировать (12.1.1) по то получим аналогичный интеграл для (12.1.3) равен единице. Отсюда имеем формулу

Учитывая (12.1.8), из (12.1.7) получаем

условная энтропия).

Найденная формула соответствует тому случаю, когда точка х оказывается в области что происходит с вероятностью Усредняя (12.1.9) по; различным областям, нетрудно подсчитать среднюю энергию, превратившуюся из тепловой формы в механическую:

Дополняя найденное соотношение знаком неравенства, относящегося к неравновесному (протекающему недостаточно медленно) процессу, имеем

Итак, мы получили, что максимальное количество тепловой энергии, переходящее в работу, равно произведению абсолютной температуры на больцмановское количество приходящей информации. Приток информации о физической системе позволяет переводить тепловую энергию в работу без передачи части тепловой энергии холодильнику. Утверждение второго закона термодинамики о невозможности такого процесса справедливы лишь при отсутствии притока информации. При наличии притока информации обычная формулировка второго закона, разрешающая в изолированной системе лишь те процессы, в которых суммарная энтропия не уменьшается:

становится недостаточной. Условие (12.1.11) должно быть заменено условием неубывания суммы энтропии и информации:

В рассмотренном выше процессе превращения теплоты в работу Имел место приток информации Энтропия термостата уменьшалась на энтропия рабочей системы в итоге не изменилась. Следовательно, для указанного процесса условие (12.1.12) справедливо со знаком равенства. Знак равенства обусловлен идеальным характером рассмотренного процесса, который был подобран специальным образом. Если бы стенками ограничивалась не область а более крупная область или если бы раздвижение стенок было не бесконечно медленным и т. п., то в условии (12.1.12)

Имел бы место знак неравенства. Полученное Количество работы было бы меньше, чем (12.1.9а). Вследствие (12.1.12) большего количества работы, чем (12.1.9а), получить из теплоты невозможно.

Мысль о возможности описанного выше обобщения второго закона термодинамики на случай систем с притоком информации возникла давно в связи с обсуждением «демона Максвелла». Последний, открывая или закрывая дверцу в стенке между двумя сосудами (в зависимости от того, с какой скоростью подлетает молекула к дверце), может создать разность температур или разность давлений, не совершая работы, вопреки второму закону термодинамики. Для такой деятельности «демону» необходим приток информации. Пределы нарушения «демоном» второго закона термодинамики ограничены величиной приходящей информации. Согласно сказанному выше это можно утверждать не только качественно, но и формулировать в виде точного количественного закона (12.1.12).

В процессах, не связанных с притоком информации, второй закон термодинамики, взятый в обычном виде (12.1.11), конечно, остается незыблемым. Более того, даже формулу (12.1.10), соответствующую обобщенному закону (12.1.12), мы получили, по существу, опираясь на второй закон (12.1.11) при рассмотрении расширяющейся области Именно, формулы (12.1.6), (12.1.7) являются следствием второго закона (12.1.11). Покажем это. Обозначая через количество теплоты, пришедшее из термостата, записываем изменение энтропии термостата в виде

По первому закону термодинамики

где внутренняя энергия системы, связанная со свободной энергией известным соотношением Дифференцируя последнее, имеем

Второй закон (12.1.11) в данном случае имеет вид что в силу (12.1.14), (12.1.15), эквивалентно соотношению

Взяв это соотношение со знаком равенства, что соответствует идеальному процессу, получим первое соотношение (12.1.6).